Derivatif dapat digunakan untuk memperoleh karakteristik berguna dari grafik, seperti nilai maksimum, minimum, puncak, palung, dan cerun. Anda bahkan boleh menggunakannya untuk membuat graf persamaan kompleks tanpa kalkulator grafik! Malangnya, mengusahakan derivatif sering membosankan, tetapi artikel ini akan membantu anda dengan beberapa petua dan trik.
Langkah
Langkah 1. Memahami notasi yang diturunkan
Dua notasi berikut adalah yang paling biasa digunakan, walaupun banyak notasi lain terdapat di Wikipedia.
- Notasi Leibniz Notasi ini adalah notasi yang paling biasa digunakan apabila persamaan melibatkan y dan x. dy / dx secara harfiah bermaksud terbitan y berkenaan dengan x. Mungkin berguna untuk menganggapnya sebagai y / Δx untuk nilai x dan y yang sangat berbeza. Penjelasan ini membawa kepada definisi had terbitan: limh-> 0 (f (x + h) -f (x)) / j. Semasa menggunakan notasi ini untuk kata terbitan kedua, anda harus menulis: d2y / dx2.
- Lagrange Notation Turunan fungsi f juga ditulis sebagai f '(x). Notasi ini berbunyi x beraksen. Notasi ini lebih pendek daripada notasi Leibniz, dan berguna ketika melihat derivatif sebagai fungsi. Untuk membentuk derajat terbitan yang lebih besar, tambah 'ke f, jadi terbitan kedua adalah f' '(x).
Langkah 2. Fahami maksud terbitan dan sebab-sebab turunnya
Pertama, untuk mencari cerun graf linier, dua titik pada garis diambil, dan koordinatnya dimasukkan ke dalam persamaan (y2 - y1) / (x2 - x1). Walau bagaimanapun, ia hanya boleh digunakan untuk grafik linear. Untuk persamaan kuadratik dan lebih tinggi, garis akan menjadi lengkung, jadi mencari perbezaan antara dua titik tidak begitu tepat. Untuk mencari cerun tangen dalam graf lengkung, dua titik diambil, dan dimasukkan ke dalam persamaan umum untuk mencari cerun graf lengkung: [f (x + dx) - f (x)] / dx. Dx menunjukkan delta x, yang merupakan perbezaan antara dua koordinat x pada dua titik graf. Perhatikan bahawa persamaan ini sama dengan (y2 - y1) / (x2 - x1), hanya dalam bentuk yang berbeza. Oleh kerana diketahui bahawa hasilnya tidak tepat, pendekatan tidak langsung diterapkan. Untuk mencari cerun tangen pada (x, f (x)), dx mesti mendekati 0, sehingga dua titik yang dilukis bergabung menjadi satu titik. Walau bagaimanapun, anda tidak boleh membahagi 0, jadi setelah anda memasukkan nilai dua titik, anda harus menggunakan pemfaktoran dan kaedah lain untuk mengeluarkan dx dari bahagian bawah persamaan. Setelah selesai, buat dx 0 dan anda selesai. Ini adalah cerun tangen pada (x, f (x)). Derivatif dari persamaan adalah persamaan umum untuk mencari kemiringan tangen pada graf. Ini mungkin kelihatan sangat rumit, tetapi ada beberapa contoh di bawah, yang akan membantu menjelaskan cara mendapatkan turunannya.
Kaedah 1 dari 4: Derivatif Eksplisit
Langkah 1. Gunakan derivatif eksplisit jika persamaan anda sudah mempunyai satu sisi
Langkah 2. Pasangkan persamaan ke dalam persamaan [f (x + dx) - f (x)] / dx
Contohnya, jika persamaannya adalah y = x2, terbitannya akan [(x + dx)2 - x2] / dx.
Langkah 3. Kembangkan dan keluarkan dx untuk membentuk persamaan [dx (2x + dx)] / dx
Sekarang, anda boleh membuang dua dx di bahagian atas dan bawah. Hasilnya adalah 2x + dx, dan ketika dx menghampiri sifar, terbitannya adalah 2x. Ini bermaksud bahawa cerun sebarang tangen graf y = x2 ialah 2x. Cukup masukkan nilai-x untuk titik di mana anda ingin mencari cerun.
Langkah 4. Pelajari corak untuk menghasilkan persamaan yang serupa
Berikut adalah beberapa contoh.
- Mana-mana eksponen adalah daya kali nilainya, dinaikkan menjadi daya kurang dari 1. Contohnya, terbitan x5 ialah 5x4, dan terbitan x3, 5 iis3, 5x2, 5. Sekiranya sudah ada nombor di depan x, gandakan dengan kuasa. Contohnya terbitan 3x4 ialah 12x3.
- Derivatif bagi sebarang pemalar adalah sifar. Jadi, terbitan 8 adalah 0.
- Derivatif dari jumlah adalah jumlah terbitan masing-masing. Contohnya, terbitan x3 + 3x2 adalah 3x2 + 6x.
- Derivatif produk adalah faktor pertama kali turunan faktor kedua ditambah faktor kedua kali terbitan faktor pertama. Contohnya, terbitan x3(2x + 1) ialah x3(2) + (2x + 1) 3x2, yang sama dengan 8x3 + 3x2.
- Derivatif bagi hasil tambah (katakanlah, f / g) adalah [g (terbitan f) - f (terbitan g)] / g2. Contohnya, terbitan (x2 + 2x - 21) / (x - 3) ialah (x2 - 6x + 15) / (x - 3)2.
Kaedah 2 dari 4: Derivatif Tersirat
Langkah 1. Gunakan derivatif tersirat jika persamaan anda belum dapat ditulis dengan y di satu sisi
Sebenarnya, jika anda menulis y di satu sisi, mengira dy / dx akan membosankan. Berikut adalah contoh bagaimana anda dapat menyelesaikan persamaan jenis ini.
Langkah 2. Dalam contoh ini, x2y + 2y3 = 3x + 2y, gantikan y dengan f (x), jadi anda akan ingat bahawa y sebenarnya adalah fungsi.
Persamaan kemudian menjadi x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Langkah 3. Untuk mencari turunan persamaan ini, hasilkan kedua-dua sisi persamaan berkenaan dengan x
Persamaan kemudian menjadi x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Langkah 4. Gantikan f (x) dengan y sekali lagi
Berhati-hatilah untuk tidak menggantikan f '(x), yang berbeza dengan f (x).
Langkah 5. Cari f '(x)
Jawapan untuk contoh ini menjadi (3 - 2xy) / (x2 + 6y2 - 2).
Kaedah 3 dari 4: Derivatif Tertinggi
Langkah 1. Memperoleh fungsi orde yang lebih tinggi bermaksud anda memperoleh turunannya (mengikut pesanan 2)
Contohnya, jika masalahnya meminta anda memperoleh turunan ketiga, maka ambil sahaja turunan dari derivatif. Untuk beberapa persamaan, turunan turutan tinggi adalah 0.
Kaedah 4 dari 4: Peraturan Rantai
Langkah 1. Jika y adalah fungsi pembezaan dari z, dan z adalah fungsi pembezaan dari x, y adalah fungsi gabungan dari x, dan terbitan y berkenaan dengan x (dy / dx) adalah (dy / du) * (du / dx)
Peraturan rantai juga boleh menjadi gabungan persamaan daya, seperti ini: (2x4 - x)3. Untuk mencari derivatif, fikirkannya seperti peraturan pendaraban. Darabkan persamaan dengan kuasa dan turunkan 1 menjadi kuasa. Kemudian, kalikan persamaan dengan turunan persamaan dalam kurungan yang menaikkan daya (dalam kes ini, 2x ^ 4 - x). Jawapan untuk soalan ini adalah 3 (2x4 - x)2(8x3 - 1).
Petua
- Setiap kali anda melihat masalah yang sukar untuk diselesaikan, jangan risau. Cobalah memecahnya menjadi bahagian yang lebih kecil sebanyak mungkin dengan menerapkan peraturan pendaraban, hasil tambah, dll. Kemudian, turunkan setiap bahagian.
- Berlatihlah dengan peraturan pendaraban, peraturan hasil, aturan rantai, dan terutama, derivatif tersirat, kerana peraturan ini jauh lebih sukar dalam kalkulus.
- Fahami kalkulator anda dengan baik; cuba pelbagai fungsi dalam kalkulator anda untuk mengetahui cara menggunakannya. Adalah sangat berguna untuk mengetahui cara menggunakan tangen dan fungsi terbitan dalam kalkulator anda jika tersedia.
- Ingat derivatif trigonometri asas dan cara menggunakannya.
