Kecepatan didefinisikan sebagai kelajuan objek dalam arah tertentu. Dalam banyak keadaan, untuk mencari halaju, kita dapat menggunakan persamaan v = s / t, di mana v sama halaju, s sama dengan jumlah jarak objek telah bergerak dari posisi awalnya, dan t sama dengan waktu. Walau bagaimanapun, kaedah ini hanya memberikan nilai kelajuan objek "rata-rata" berbanding perpindahannya. Dengan menggunakan kalkulus, anda dapat mengira halaju objek pada bila-bila masa sepanjang perpindahannya. Nilai ini disebut "kelajuan segera" dan dapat dikira dengan persamaan v = (ds) / (dt), atau, dengan kata lain, adalah terbitan persamaan bagi halaju purata objek.
Langkah
Kaedah 1 dari 3: Mengira Kelajuan Sekejap
Langkah 1. Mulakan dengan persamaan untuk halaju perpindahan objek
Untuk mendapatkan nilai halaju sekejap objek, pertama kita harus mempunyai persamaan yang menggambarkan kedudukannya (dari segi perpindahannya) pada suatu titik waktu. Ini bermaksud bahawa persamaan mesti mempunyai pemboleh ubah s (yang berdiri sendiri) di satu sisi, dan t sebaliknya (tetapi tidak semestinya berdiri sendiri), seperti ini:
s = -1.5t2+ 10t + 4
-
Dalam persamaan, pemboleh ubahnya adalah:
-
-
Perpindahan = s. Itulah jarak yang dilalui oleh objek dari titik permulaannya. Sebagai contoh, jika objek bergerak sejauh 10 meter ke depan dan 7 meter ke belakang, maka jumlah jarak perjalanan adalah 10 - 7 = 3 meter (bukan 10 + 7 = 17 meter).
-
Masa = t. Pemboleh ubah ini jelas. Biasanya dinyatakan dalam beberapa saat. # Ambil turunan persamaan. Derivatif dari persamaan adalah persamaan lain yang dapat memberikan nilai cerun dari titik tertentu. Untuk mencari turunan formula untuk perpindahan objek, hasilkan fungsi menggunakan peraturan umum berikut: Sekiranya y = a * x , Derivatif = a * n * xn-1. Peraturan ini berlaku untuk komponen yang berada di sisi "t" persamaan.
Kira Kecepatan Segera Langkah 2
-
-
- Dengan kata lain, mulailah dengan menurunkan "t" sisi persamaan dari kiri ke kanan. Setiap kali anda mencapai nilai "t", tolak 1 dari nilai eksponen dan kalikan keseluruhannya dengan eksponen asal. Sebarang pemalar (pemboleh ubah yang tidak mengandungi "t") akan hilang kerana didarabkan dengan 0. Proses ini tidak sukar seperti yang difikirkan, mari kita dapatkan persamaan pada langkah di atas sebagai contoh:
s = -1.5t2+ 10t + 4
(2) -1.5t(2-1)+ (1) 10t1 - 1 + (0) 4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
Langkah 2. Gantikan pemboleh ubah "s" dengan "ds / dt
"Untuk menunjukkan bahawa persamaan baru anda adalah turunan dari persamaan sebelumnya, ganti" s "dengan" ds / dt ". Secara teknikal, notasi ini bermaksud" terbitan s sehubungan dengan t. "Cara yang lebih mudah untuk memahami ini adalah bahawa ds / dt adalah nilai cerun (cerun) pada mana-mana titik dalam persamaan pertama, misalnya, untuk menentukan cerun garis yang diambil dari persamaan s = -1.5t2 + 10t + 4 pada t = 5, kita dapat memasukkan nilai "5" ke dalam persamaan terbitan.
- Dalam contoh yang digunakan, persamaan derivatif pertama sekarang akan kelihatan seperti ini:
ds / sec = -3t + 10
Langkah 3. Pasang nilai t ke dalam persamaan baru untuk mendapatkan nilai halaju sekejap
Setelah anda mempunyai persamaan terbitan, mudah untuk mencari halaju sekejap pada bila-bila masa. Yang perlu anda lakukan ialah memilih nilai untuk t dan memasukkannya ke dalam persamaan terbitan anda. Sebagai contoh, jika anda ingin mencari halaju sekejap pada t = 5, anda boleh mengganti nilai t dengan "5" dalam persamaan terbitan ds / dt = -3 + 10. Kemudian selesaikan persamaan seperti ini:
ds / sec = -3t + 10
ds / sec = -3 (5) + 10
ds / sec = -15 + 10 = - 5 meter / saat
Perhatikan bahawa unit yang digunakan di atas adalah "meter / saat". Kerana apa yang kita hitung adalah perpindahan dalam meter dan waktu dalam detik (saat) dan halaju pada umumnya adalah perpindahan pada waktu tertentu, unit ini sesuai digunakan
Kaedah 2 dari 3: Mengira Kelajuan Sekejap Secara Grafik
Langkah 1. Lukiskan grafik anjakan objek dari masa ke masa
Pada bahagian di atas, derivatif disebut sebagai formula untuk mencari cerun pada titik tertentu untuk persamaan yang anda hasilkan. Sebenarnya, jika anda mewakili perpindahan objek sebagai garis pada grafik, "cerun garis pada semua titik sama dengan nilai halaju sekejap pada titik itu."
- Untuk menggambarkan perpindahan objek, gunakan x untuk mewakili masa dan y untuk mewakili perpindahan. Kemudian lukiskan titik, masukkan nilai t ke dalam persamaan anda, sehingga dapatkan nilai s untuk graf anda, tandakan t, s dalam grafik sebagai (x, y).
- Perhatikan bahawa graf anda boleh menjangkau di bawah paksi-x. Sekiranya garis yang mewakili pergerakan objek anda mencapai di bawah paksi-x, ini bermaksud bahawa objek tersebut telah bergerak ke belakang dari kedudukan awalnya. Secara umum, graf anda tidak akan mencapai bahagian belakang paksi-y - kerana kami tidak mengukur halaju objek yang bergerak melewati!
Langkah 2. Pilih titik P dan Q yang bersebelahan di garis
Untuk mendapatkan kemiringan garis pada titik P, kita dapat menggunakan trik yang disebut "mengambil batas." Mengambil had melibatkan dua titik (P dan Q, titik berdekatan) pada garis melengkung dan mencari cerun garis dengan menghubungkannya berkali-kali sehingga jarak P dan Q semakin dekat.
Katakan garis perpindahan objek mengandungi nilai (1, 3) dan (4, 7). Dalam kes ini, jika kita ingin mencari cerun pada titik (1, 3), kita dapat menentukan (1, 3) = P dan (4, 7) = Q.
Langkah 3. Cari cerun antara P dan Q
Cerun antara P dan Q adalah perbezaan nilai y untuk P dan Q sepanjang perbezaan nilai paksi-x untuk P dan Q. Dengan kata lain, H = (yQ - yP) / (xQ - xP), di mana H adalah cerun antara dua titik. Dalam contoh kami, nilai cerun antara P dan Q adalah
H = (yQ- yP) / (xQ- xP)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1.33
Langkah 4. Ulangi beberapa kali, bergerak Q lebih dekat ke P
Matlamat anda adalah untuk mengurangkan jarak antara P dan Q agar menyerupai titik. Semakin dekat jarak antara P dan Q, semakin hampir cerun garis pada titik P. Lakukan ini beberapa kali dengan persamaan yang digunakan sebagai contoh, menggunakan titik (2, 4.8), (1.5, 3.95), dan (1.25, 3.49) sebagai Q dan titik permulaan (1, 3) sebagai P:
S = (2, 4.8):
H = (4.8 - 3) / (2 - 1)
H = (1.8) / (1) = 1.8
S = (1.5, 3.95):
H = (3.95 - 3) / (1.5 - 1)
H = (.95) / (. 5) = 1.9
S = (1.25, 3.49):
H = (3.49 - 3) / (1.25 - 1)
H = (.49) / (. 25) = 1.96
Langkah 5. Anggarkan cerun garis untuk jarak yang sangat kecil
Apabila Q semakin dekat dengan P, H semakin dekat dan semakin dekat dengan nilai cerun titik P. Akhirnya, apabila mencapai nilai yang sangat kecil, H sama dengan cerun P. Oleh kerana kita tidak dapat mengukur atau mengira jarak yang sangat kecil, kita hanya dapat mengira kemiringan pada P setelah jelas dari sudut yang kita cuba.
- Dalam contohnya, ketika kita menggerakkan Q lebih dekat ke P, kita mendapat nilai 1.8, 1.9, dan 1.96 untuk H. Oleh kerana nombor ini mendekati 2, kita dapat mengatakan bahawa 2 adalah lereng perkiraan P.
- Ingat bahawa cerun pada titik tertentu pada garis sama dengan turunan persamaan garis. Oleh kerana garis yang digunakan menunjukkan perpindahan objek dari masa ke masa, dan kerana seperti yang kita lihat di bahagian sebelumnya, kecepatan sesaat objek adalah turunan dari perpindahannya pada titik tertentu, kita juga dapat menyatakan bahwa "2 meter / detik "adalah nilai anggaran kelajuan sekejap pada t = 1.
Kaedah 3 dari 3: Contoh Soalan
Langkah 1. Cari nilai halaju sekejap pada t = 4, dari persamaan anjakan s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9.
Masalah ini sama dengan contoh di bahagian pertama, kecuali bahawa persamaan ini adalah persamaan kubus, bukan persamaan daya, jadi kita dapat menyelesaikan masalah ini dengan cara yang sama.
- Pertama, kita mengambil turutan persamaan:
- Kemudian, masukkan nilai t (4):
s = 5t3- 3t2+ 2t + 9
s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3t(2 - 1) + (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1
15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
15t(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 meter / saat
Langkah 2. Gunakan perkiraan grafik untuk mencari halaju sekejap pada (1, 3) untuk persamaan anjakan s = 4t2 - t.
Untuk masalah ini, kita akan menggunakan (1, 3) sebagai titik P, tetapi kita harus menentukan titik lain yang berdekatan dengan titik itu sebagai titik Q. Kemudian kita hanya perlu menentukan nilai H dan membuat anggaran.
- Pertama, cari nilai Q terlebih dahulu pada t = 2, 1.5, 1.1 dan 1.01.
- Kemudian, tentukan nilai H:
- Oleh kerana nilai H sangat hampir dengan 7, kita dapat menyatakannya 7 meter / saatadalah anggaran sekejap sekejap pada (1, 3).
s = 4t2- t
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, jadi S = (2, 14)
t = 1.5:
s = 4 (1.5)2 - (1.5)
4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, jadi S = (1.5, 7.5)
t = 1.1:
s = 4 (1.1)2 - (1.1)
4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, jadi S = (1.1, 3.74)
t = 1.01:
s = 4 (1.01)2 - (1.01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, jadi S = (1.01, 3.0704)
S = (2, 14):
H = (14 - 3) / (2 - 1)
H = (11) / (1) =
Langkah 11.
S = (1.5, 7.5):
H = (7.5 - 3) / (1.5 - 1)
H = (4.5) / (. 5) =
Langkah 9.
S = (1.1, 3.74):
H = (3.74 - 3) / (1.1 - 1)
H = (.74) / (. 1) = 7.3
S = (1.01, 3.0704):
H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
H = (.0704) / (. 01) = 7.04
Petua
- Untuk mencari nilai pecutan (perubahan halaju dari masa ke masa), gunakan kaedah di bahagian pertama untuk mendapatkan persamaan bagi turunan fungsi perpindahan. Kemudian buat persamaan terbitan sekali lagi, kali ini dari persamaan terbitan anda. Ini akan memberi anda persamaan untuk mencari pecutan pada waktu tertentu, yang harus anda lakukan adalah memasukkan nilai masa anda.
- Persamaan yang menghubungkan nilai Y (anjakan) ke X (masa) mungkin sangat sederhana, misalnya Y = 6x + 3. Dalam kes ini, nilai cerunnya tetap, dan tidak perlu mencari derivatif untuk menghitungnya, di mana mengikut persamaan garis lurus, Y = mx + b akan sama 6.
- Perpindahan serupa dengan jarak, tetapi memiliki arah, jadi perpindahan adalah kuantiti vektor, sementara jarak adalah kuantiti skalar. Nilai anjakan boleh menjadi negatif, tetapi jaraknya akan sentiasa positif.
