3 Cara Faktor Trinomial

2024 Pengarang: Jason Gerald | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-15 08:20

Trinomial adalah ungkapan algebra yang terdiri daripada tiga istilah. Kemungkinan besar, anda akan mula belajar bagaimana memfaktorkan trinomial kuadratik, yang bermaksud trinomial yang ditulis dalam bentuk kapak² + bx + c. Terdapat beberapa trik untuk dipelajari, yang boleh digunakan untuk pelbagai jenis trinomial kuadratik, tetapi anda akan dapat menggunakannya dengan lebih baik dan cepat dengan latihan. Polinomial pesanan lebih tinggi, dengan istilah seperti x³ atau x⁴, tidak selalu dapat diselesaikan dengan cara yang sama, tetapi anda sering dapat menggunakan pemfaktoran atau penggantian sederhana untuk mengubahnya menjadi masalah yang dapat diselesaikan seperti formula kuadratik lain.

Langkah

Kaedah 1 dari 3: Pemfaktoran x² + bx + c

Langkah 1. Belajar pendaraban PLDT

Anda mungkin telah belajar membiak PLDT, atau "First, Outside, In, Last" untuk memperbanyak ungkapan seperti (x + 2) (x + 4). Adalah berguna untuk mengetahui bagaimana pendaraban ini berfungsi sebelum kita memperhitungkan:

• Banyakkan suku Pertama: (x+2)(x+4) = x² + _

• Banyakkan suku Di luar: (x+2) (x +

  Langkah 4.) = x²+ 4x + _

• Banyakkan suku Dalam: (x +

  Langkah 2.)(x+4) = x²+ 4x + 2x + _

• Banyakkan suku Akhir: (x +

  Langkah 2.) (x

  Langkah 4.) = x²+ 4x + 2x

  Langkah 8.

• Permudahkan: x²+ 4x + 2x + 8 = x²+ 6x + 8

Langkah 2. Fahami pemfaktoran

Apabila anda mengalikan dua binomial menggunakan kaedah PLDT, anda mendapat trinomial (ungkapan dengan tiga istilah) dalam bentuk x²+ b x + c, di mana a, b, dan c adalah nombor biasa. Sekiranya anda memulakan dengan persamaan yang mempunyai bentuk yang sama, anda boleh memasukkannya semula menjadi dua binomial.

• Sekiranya persamaan tidak ditulis mengikut urutan ini, susun semula persamaan sehingga mereka mempunyai susunan ini. Contohnya, tulis semula 3x - 10 + x² Menjadi x² + 3x - 10.
• Kerana kuasa tertinggi adalah 2 (x², jenis ungkapan ini disebut kuadratik.

Langkah 3. Tinggalkan tempat kosong untuk jawapan dalam bentuk pendaraban PLDT

Buat masa ini, tulis sahaja (_ _)(_ _) di mana anda akan menulis jawapannya. Kami akan mengisinya semasa mengusahakannya

Jangan tulis + atau - antara istilah kosong kerana kita belum mengetahui tanda yang betul

Langkah 4. Isi syarat pertama

Untuk masalah sederhana, istilah pertama trinomial anda ialah x², syarat di kedudukan Pertama selalu x dan x. Ini adalah faktor istilah x² kerana x kali x = x².

• Contoh kita x² + 3x - 10 bermula dengan x², supaya kita dapat menulis:
• (x _) (x _)
• Kami akan menyelesaikan masalah yang lebih kompleks di bahagian seterusnya, termasuk trinomial bermula dengan istilah seperti 6x² atau -x². Sementara itu, ikuti contoh soalan ini.

Langkah 5. Gunakan pemfaktoran untuk meneka istilah Terakhir

Sekiranya anda kembali dan membaca langkah-langkah untuk mengalikan PLDT, anda akan melihat bahawa mengalikan istilah Terakhir akan menghasilkan istilah terakhir dalam polinomial (istilah yang tidak mempunyai x). Oleh itu, kita mesti mencari dua nombor yang apabila didarabkan akan menghasilkan istilah terakhir.

• Dalam contoh kita x² + 3x - 10, istilah terakhir ialah -10.
• Apakah faktor -10 -10? Apakah nombor yang didarabkan dengan -10?
• Terdapat beberapa kemungkinan: -1 kali 10, 1 kali -10, -2 kali 5, atau 2 kali -5. Tuliskan pasangan ini di suatu tempat untuk mengingatnya.
• Jangan ubah jawapan kami sebentar lagi. Jawapan kami tetap seperti ini: (x _) (x _).

Langkah 6. Uji kemungkinan yang sesuai dengan produk Luar dan Dalam

Kami telah menyempitkan istilah Terakhir kepada beberapa kemungkinan. Gunakan sistem percubaan untuk menguji setiap kemungkinan, menggandakan istilah Luar dan Batin dan membandingkan produk dengan trinomial kami. Sebagai contoh:

• Masalah asal kami mempunyai istilah "x" pada 3x, jadi hasil ujian kami harus sama dengan istilah ini.
• Ujian -1 dan 10: (x-1) (x + 10). Luar + Dalam = 10x - x = 9x. Keliru.
• Ujian 1 dan -10: (x + 1) (x-10). -10x + x = -9x. Ini adalah salah. Sebenarnya, jika anda menguji -1 dan 10, anda akan dapati bahawa 1 dan -10 adalah kebalikan dari jawapan di atas: -9x dan bukannya 9x.
• Ujian -2 dan 5: (x-2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. Hasilnya sepadan dengan polinomial awal, jadi inilah jawapan yang betul: (x-2) (x + 5).
• Dalam kes sederhana seperti ini, jika anda tidak mempunyai pemalar di hadapan istilah x², anda boleh menggunakan cara cepat: tambah dua faktor dan letakkan "x" di belakangnya (-2 + 5 → 3x). Walau bagaimanapun, kaedah ini tidak berfungsi untuk masalah yang lebih kompleks, jadi lebih baik mengingat "jalan panjang" yang dijelaskan di atas.

Kaedah 2 dari 3: Memfaktorkan Trinomial Lebih Kompleks

Langkah 1. Gunakan pemfaktoran mudah untuk menjadikan masalah yang lebih kompleks menjadi lebih mudah

Contohnya, anda mesti mengambil kira 3x² + 9x - 30. Cari nombor yang boleh memfaktorkan ketiga-tiga istilah ("faktor sepunya terhebat" atau GCF). Dalam kes ini, GCF adalah 3:

• 3x² = (3) (x²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• Oleh itu, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+ 3x-10). Kita dapat menentukan trinomial baru dengan menggunakan langkah-langkah di bahagian di atas. Jawapan terakhir kami adalah (3) (x-2) (x + 5).

Langkah 2. Cari faktor yang lebih rumit

Kadang kala, pemfaktoran mungkin melibatkan pemboleh ubah, atau anda mungkin perlu membuat beberapa faktor untuk mencari ungkapan semudah mungkin. Berikut adalah beberapa contoh:

• 2x²y + 14xy + 24y = (2y)(x² + 7x + 12)
• x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² + 11x - 26)
• -x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
• Jangan lupa untuk merefleksikan trinomial baru, menggunakan langkah-langkah dalam Kaedah 1. Periksa karya anda dan cari contoh masalah serupa dalam contoh soalan di bahagian bawah halaman ini.

Langkah 3. Selesaikan masalah dengan nombor di hadapan x².

Beberapa trinomial kuadratik tidak dapat dikurangkan menjadi jenis masalah yang paling mudah. Ketahui cara menyelesaikan masalah seperti 3x² + 10x + 8, kemudian latih sendiri dengan contoh soalan di bahagian bawah halaman ini:

• Tetapkan jawapan kami sebagai: (_ _)(_ _)
• Istilah "Pertama" kami masing-masing akan mempunyai satu x, dan mengalikannya memberi 3x². Hanya ada satu kemungkinan: (3x _) (x _).
• Senaraikan faktor 8. Kemungkinannya adalah 1 kali 8 atau 2 kali 4.
• Uji kemungkinan ini dengan menggunakan istilah Luar dan Dalam. Perhatikan bahawa susunan faktor sangat penting kerana istilah Luar digandakan dengan 3x dan bukan x. Cubalah setiap kemungkinan sehingga anda keluar + In = 10x (dari masalah asal):
• (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x tidak
• (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x tidak
• (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x tidak
• (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x iya. Ini adalah faktor yang betul.

Langkah 4. Gunakan pengganti untuk trinomial yang lebih tinggi

Buku matematik anda mungkin mengejutkan anda dengan persamaan dengan kekuatan tinggi, seperti x⁴, walaupun selepas anda menggunakan pemfaktoran mudah untuk menjadikan masalah lebih mudah. Cuba ganti pemboleh ubah baru yang mengubahnya menjadi masalah yang anda tahu bagaimana menyelesaikannya. Sebagai contoh:

• x⁵+ 13x³+ 36x
• = (x) (x⁴+ 13x²+36)
• Mari buat pemboleh ubah baru. Katakan y = x² dan masukkan ke dalamnya:
• (x) (y²+ 13y + 36)
• = (x) (y + 9) (y + 4). Sekarang, ubah kembali ke pemboleh ubah awal:
• = (x) (x²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

Kaedah 3 dari 3: Pemfaktoran Kes Khas

Langkah 1. Cari nombor perdana

Perhatikan apakah pemalar pada penggal pertama atau ketiga trinomial adalah nombor perdana. Nombor perdana hanya dapat dibahagikan dan 1, jadi hanya ada satu kemungkinan faktor binomial.

• Contohnya, dalam x² + 6x + 5, 5 adalah nombor perdana, jadi binomial mestilah berupa (_ 5) (_ 1).
• Dalam masalah 3x²+ 10x + 8, 3 adalah nombor perdana, jadi binomial mestilah berupa (3x _) (x _).
• Untuk soalan 3x²+ 4x + 1, kedua-duanya 3 dan 1 adalah nombor perdana, jadi satu-satunya penyelesaian yang mungkin adalah (3x + 1) (x + 1). (Anda masih harus menggandakan nombor ini untuk memeriksa jawapan anda kerana beberapa ungkapan sama sekali tidak boleh diperhitungkan - misalnya, 3x²+ 100x + 1 tidak mempunyai faktor.)

Langkah 2. Ketahui apakah trinomial adalah segiempat tepat

Trinomial persegi yang sempurna boleh diperhitungkan menjadi dua binomial yang sama, dan faktornya biasanya ditulis sebagai (x + 1)² dan bukan (x + 1) (x + 1). Berikut adalah beberapa contoh yang cenderung muncul dalam soalan:

• x²+ 2x + 1 = (x + 1)², dan x²-2x + 1 = (x-1)²
• x²+ 4x + 4 = (x + 2)², dan x²-4x + 4 = (x-2)²
• x²+ 6x + 9 = (x + 3)², dan x²-6x + 9 = (x-3)²
• Trinomial segi empat tepat dalam bentuk x² + bx + c selalu mempunyai istilah a dan c yang merupakan petak sempurna positif (seperti 1, 4, 9, 16, atau 25) dan satu istilah b (positif atau negatif) yang sama dengan 2 (√a * √c).

Langkah 3. Ketahui apakah masalah tidak dapat diselesaikan

Tidak semua trinomial boleh difaktorkan. Sekiranya anda tidak dapat memfaktorkan trinomial kuadratik (kapak²+ bx + c), gunakan formula kuadratik untuk mencari jawapannya. Sekiranya satu-satunya jawapan adalah punca kuasa dua nombor negatif, tidak ada penyelesaian nombor nyata, maka masalahnya tidak mempunyai faktor.

Untuk trinomial bukan segi empat, gunakan Kriteria Eisenstein, yang dijelaskan di bahagian Petua

Jawapan dan Contoh Soalan

1. Jawapan untuk soalan "pemfaktoran rumit".

   Ini adalah soalan dari langkah "faktor yang lebih rumit". Kami telah mempermudah masalah menjadi lebih mudah, jadi cubalah menyelesaikannya menggunakan langkah-langkah dalam kaedah 1, kemudian periksa kerja anda di sini:

   • (2y) (x² + 7x + 12) = (x + 3) (x + 4)
   • (x²) (x² + 11x - 26) = (x + 13) (x-2)
   • (-1) (x² - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. Cuba masalah pemfaktoran yang lebih kompleks.

   Masalah-masalah ini mempunyai faktor yang sama dalam setiap istilah yang mesti difaktorkan terlebih dahulu. Sekat kosong selepas tanda sama untuk melihat jawapannya supaya anda dapat memeriksa hasil kerja anda:

   • 3x³+ 3x²-6x = (3x) (x + 2) (x-1) blokkan tempat kosong untuk melihat jawapannya
   • -5x³y²+ 30x²y²-25y²x = (-5xy ^ 2) (x-5) (x-1)

3. Berlatih menggunakan soalan. Masalah ini tidak dapat diperhitungkan menjadi persamaan yang lebih mudah, jadi anda harus mencari jawapannya dalam bentuk (_x + _) (_ x + _) menggunakan percubaan dan ralat:

   • 2x²+ 3x-5 = (2x + 5) (x-1) blok untuk melihat jawapannya
   • 9x²+ 6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1)² (Petunjuk: Anda mungkin ingin mencuba lebih daripada satu pasangan faktor untuk 9x.)

   Petua

   • Sekiranya anda tidak dapat mengetahui bagaimana faktor trinomial kuadratik (kapak²+ bx + c), anda boleh menggunakan formula kuadratik untuk mencari x.

   • Walaupun anda tidak perlu tahu bagaimana melakukannya, anda boleh menggunakan Kriteria Eisenstein untuk menentukan dengan cepat apakah polinomial tidak dapat dipermudah dan difaktorkan. Kriteria ini berlaku untuk mana-mana polinomial tetapi paling baik digunakan untuk trinomial. Sekiranya terdapat nombor perdana p yang membahagikan dua istilah terakhir secara merata dan memenuhi syarat berikut, maka polinomial tidak dapat dipermudahkan:

     • Istilah malar (tanpa pemboleh ubah) adalah gandaan p tetapi bukan gandaan p².
     • Awalan (misalnya, a dalam kapak²+ bx + c) bukan gandaan p.
     • Contohnya, 14x² + 45x +51 tidak dapat disederhanakan kerana terdapat nombor perdana (3) yang dapat dibahagi dengan kedua 45 dan 51, tetapi tidak dapat dibahagi dengan 14, dan 51 tidak dapat dibahagi dengan 3².

   Amaran

   Walaupun ini berlaku untuk trinomial kuadratik, trinomial yang boleh difaktorkan tidak semestinya produk dari dua binomial. Contohnya, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).