Cara Melukis Graf Segi Empat: 10 Langkah (dengan Gambar)

2024 Pengarang: Jason Gerald | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-02-01 14:14

Apabila ditunjukkan secara grafik, persamaan kuadratik berbentuk kapak² + bx + c atau a (x - j)² + k bentuk huruf U atau lengkung U terbalik yang disebut parabola. Melakar persamaan kuadratik mencari bucu, arah, dan selalunya persimpangan x dan y. Dalam kes persamaan kuadratik yang cukup sederhana, memasukkan sekumpulan nilai x dan merancang lengkung berdasarkan titik yang dihasilkan mungkin mencukupi. Lihat Langkah 1 di bawah untuk memulakan.

Langkah

Langkah 1. Tentukan bentuk persamaan kuadratik yang anda ada

Persamaan kuadratik dapat ditulis dalam tiga bentuk yang berbeza: bentuk umum, bentuk bucu, dan bentuk kuadratik. Anda boleh menggunakan sebarang bentuk untuk membuat grafik persamaan kuadratik; proses menggambarkan setiap graf sedikit berbeza. Sekiranya anda membuat kerja rumah, anda biasanya akan menerima soalan dalam salah satu daripada dua bentuk ini - dengan kata lain, anda tidak akan dapat memilih, jadi lebih baik anda memahami kedua-duanya. Dua bentuk persamaan kuadratik adalah:

• Bentuk am.

  Dalam bentuk ini, persamaan kuadratik ditulis sebagai: f (x) = ax² + bx + c di mana a, b, dan c adalah nombor nyata dan a bukan sifar.

  Contohnya, dua persamaan kuadratik bentuk umum ialah f (x) = x² + 2x + 1 dan f (x) = 9x² + 10x -8.

• Bentuk puncak.

  Dalam bentuk ini, persamaan kuadratik ditulis sebagai: f (x) = a (x - h)² + k di mana a, h, dan k adalah nombor nyata dan a bukan sifar. Ia disebut bentuk bucu kerana h dan k akan segera memberikan bucu (titik tengah) parabola anda pada titik (h, k).

  Dua persamaan bentuk bucu ialah f (x) = 9 (x - 4)² + 18 dan -3 (x - 5)² + 1

• Untuk membuat grafik sebarang jenis persamaan, pertama kita mesti mencari titik puncak parabola, yang merupakan titik tengah (h, k) di hujung lengkung. Koordinat puncak dalam bentuk umum dikira sebagai: h = -b / 2a dan k = f (h), sementara dalam bentuk puncak, h dan k berada dalam persamaan.

Langkah 2. Tentukan pemboleh ubah anda

Untuk menyelesaikan masalah kuadratik, pemboleh ubah a, b, dan c (atau a, h, dan k) biasanya harus ditentukan. Masalah aljabar biasa akan memberikan persamaan kuadratik dengan pemboleh ubah yang ada, biasanya dalam bentuk umum, tetapi kadang-kadang dalam bentuk puncak.

• Contohnya, untuk persamaan bentuk am f (x) = 2x² + 16x + 39, kita mempunyai = 2, b = 16, dan c = 39.
• Untuk persamaan bentuk puncak f (x) = 4 (x - 5)² + 12, kita mempunyai = 4, h = 5, dan k = 12.

Langkah 3. Kira h

Dalam persamaan bentuk bucu, nilai h anda sudah diberikan, tetapi dalam persamaan bentuk umum, nilai h mesti dikira. Ingat bahawa, untuk persamaan bentuk umum, h = -b / 2a.

• Dalam contoh bentuk umum kami (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Setelah menyelesaikan, kita dapati bahawa h = - 4.
• Dalam contoh bentuk bucu kita (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), kita tahu bahawa h = 5 tanpa melakukan sebarang matematik.

Langkah 4. Kira k

Seperti h, k sudah dikenali dalam persamaan bentuk puncak. Untuk persamaan bentuk umum, ingat bahawa k = f (h). Dengan kata lain, anda boleh mencari k dengan menggantikan semua nilai x dalam persamaan anda dengan nilai h yang baru anda dapati.

• Kami telah menentukan dalam contoh bentuk umum kami bahawa h = -4. Untuk mencari k, kami menyelesaikan persamaan kami dengan memasukkan nilai h kami di tempat x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Langkah 7.

• Dalam contoh bentuk puncak kami, sekali lagi, kita mengetahui nilai k (iaitu 12) tanpa perlu melakukan sebarang matematik.

Langkah 5. Tentukan puncak anda

Bucu parabola anda adalah titik (h, k) - h mewakili koordinat-x, sementara k mewakili koordinat-y. Bucu adalah titik tengah parabola anda - sama ada di bahagian bawah U atau di bahagian atas U terbalik. Mengetahui bucu adalah bahagian penting dalam melukis parabola tepat - selalunya, dalam kerja sekolah, menentukan bucu adalah bahagian yang harus dicari dalam satu soalan.

• Dalam contoh bentuk umum kami, puncak kami adalah (-4, 7). Oleh itu, parabola kami akan memuncak 4 langkah ke kiri dari 0 dan 7 langkah di atas (0, 0). Kita mesti menggambarkan titik ini dalam grafik kita, memastikan menandakan koordinat.
• Dalam contoh bentuk bucu kita, bucu kita adalah (5, 12). Kita harus menarik titik 5 langkah ke kanan dan 12 langkah di atas (0, 0).

Langkah 6. Lukiskan paksi parabola (pilihan)

Paksi simetri parabola adalah garis yang melewati pusatnya, membaginya tepat di tengah. Pada paksi ini, sebelah kiri parabola akan memantulkan sebelah kanan. Untuk persamaan kuadratik dalam bentuk kapak² + bx + c atau a (x - h)² + k, paksi simetri adalah garis yang selari dengan paksi-y (dengan kata lain, tepat menegak) dan melewati bucu.

Dalam contoh contoh bentuk umum kita, paksi adalah garis selari dengan paksi-y dan melewati titik (-4, 7). Walaupun ia bukan bahagian dari parabola, menandakan garis ini secara tipis pada graf anda akhirnya akan membantu anda melihat bentuk simetri pada lengkung parabola

Langkah 7. Cari arah pembukaan parabola

Setelah mengetahui puncak dan paksi parabola, seterusnya kita perlu mengetahui apakah parabola itu terbuka atau turun. Nasib baik, ini mudah. Sekiranya nilai a positif, parabola akan terbuka ke atas, sedangkan jika nilai a negatif, parabola akan terbuka ke bawah (iaitu parabola akan terbalik).

• Untuk contoh bentuk umum kami (f (x) = 2x² + 16x + 39), kita tahu bahawa kita mempunyai parabola yang terbuka kerana, dalam persamaan kita, a = 2 (positif).
• Untuk contoh bentuk bucu kita (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), kita tahu bahawa kita juga mempunyai parabola yang terbuka kerana a = 4 (positif).

Langkah 8. Sekiranya diperlukan, cari dan lukis pintasan-x

Selalunya, dalam kerja sekolah, anda akan diminta untuk mencari pintasan-x di parabola (yang merupakan satu atau dua titik di mana parabola memenuhi paksi-x). Walaupun anda tidak menjumpainya, kedua-dua perkara ini sangat penting untuk melukis parabola yang tepat. Walau bagaimanapun, tidak semua parabola mempunyai pintasan-x. Sekiranya parabola anda mempunyai bucu yang terbuka dan bucunya berada di atas paksi-x atau jika terbuka ke bawah dan bucunya berada di bawah paksi-x, parabola tidak akan mempunyai pintasan-x. Jika tidak, selesaikan pintasan-x anda dengan salah satu cara berikut:

• Cukup buat f (x) = 0 dan selesaikan persamaannya. Kaedah ini boleh digunakan untuk persamaan kuadratik sederhana, terutama dalam bentuk puncak, tetapi akan sangat sukar bagi persamaan kompleks. Lihat di bawah untuk contoh

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Akar (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 dan 13 ialah pintasan-x dalam parabola.

• Faktorkan persamaan anda. Beberapa persamaan dalam bentuk kapak² + bx + c dapat dengan mudah difaktorkan ke dalam bentuk (dx + e) (fx + g), di mana dx × fx = kapak², (dx × g + fx × e) = bx, dan e × g = c. Dalam kes ini, pintasan-x anda adalah nilai x yang akan menjadikan sebarang istilah dalam kurungan = 0. Contohnya:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Dalam kes ini, satu-satunya pintasan-x anda adalah -1 kerana menjadikan x sama -1 akan menjadikan sebarang istilah faktor dalam kurungan sama dengan 0.

• Gunakan formula kuadratik. Sekiranya anda tidak dapat menyelesaikan pintasan-x dengan mudah atau memfaktorkan persamaan anda, gunakan persamaan khas yang disebut formula kuadratik yang dibuat untuk tujuan ini. Sekiranya belum diselesaikan, ubah persamaan anda ke bentuk kapak² + bx + c, kemudian masukkan a, b, dan c ke dalam formula x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac)) / 2a. Perhatikan bahawa kaedah ini sering memberi anda dua jawapan untuk nilai x, yang mana OK - ini hanya bermaksud bahawa parabola anda mempunyai dua pintasan-x. Lihat di bawah untuk contoh:

  • -5x² + 1x + 10 dimasukkan ke dalam formula kuadratik seperti ini:
  • x = (-1 +/- Akar (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Akar (1 + 200)) / - 10
  • x = (-1 +/- Akar (201)) / - 10
  • x = (-1 +/- 14, 18) / - 10
  • x = (13, 18 / -10) dan (-15, 18 / -10). Pintasan-x dalam parabola adalah x = - 1, 318 dan 1, 518
  • Contoh borang am kami sebelumnya, 2x² + 16x + 39 dimasukkan ke dalam formula kuadratik seperti berikut:
  • x = (-16 +/- Akar (16)² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Akar (256 - 312)) / 4
  • x = (-16 +/- Akar (-56) / - 10
  • Oleh kerana mustahil untuk mencari punca kuasa dua nombor negatif, kita tahu bahawa parabola ini tidak mempunyai pintasan-x.

Langkah 9. Sekiranya diperlukan, cari dan lukis pintasan-y

Walaupun selalunya tidak perlu mencari pintasan-y dalam persamaan (titik di mana parabola melewati paksi-y), anda mungkin akhirnya harus mencarinya, terutamanya jika anda berada di sekolah. Prosesnya agak mudah - buat x = 0, kemudian selesaikan persamaan anda untuk f (x) atau y, yang memberikan nilai y di mana parabola anda melewati paksi-y. Tidak seperti pintasan-x, parabola biasa hanya boleh mempunyai satu pintasan-y. Catatan - untuk persamaan bentuk umum, pintasan-y berada pada y = c.

• Sebagai contoh, kita tahu bahawa persamaan kuadratik kita adalah 2x² + 16x + 39 mempunyai pintasan-y pada y = 39, tetapi juga boleh didapati dengan cara berikut:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. pintasan-y dari parabola berada di y = 39.

    Seperti yang dinyatakan di atas, pintasan-y adalah pada y = c.

• Bentuk persamaan bucu kita ialah 4 (x - 5)² + 12 mempunyai pintasan-y yang boleh didapati dengan cara berikut:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. pintasan-y dari parabola berada di y = 112.

Langkah 10. Sekiranya diperlukan, lukiskan titik tambahan, kemudian lukiskan graf

Sekarang anda mempunyai titik puncak, arah, pintasan-x, dan mungkin, pintasan-y dalam persamaan anda. Pada peringkat ini, anda boleh mencuba menggambar parabola anda dengan menggunakan titik yang anda ada sebagai panduan, atau mencari titik lain untuk mengisi parabola anda sehingga lengkung yang anda lukis lebih tepat. Cara termudah untuk melakukannya adalah dengan memasukkan beberapa nilai-x di mana-mana sisi bucu anda, kemudian plotkan titik-titik ini menggunakan nilai-y yang anda dapat. Sering kali, guru meminta anda mencari beberapa titik sebelum melukis parabola anda.

• Mari kaji persamaan x² + 2x + 1. Kita sudah tahu bahawa pintasan-x hanya pada x = -1. Oleh kerana lengkung hanya menyentuh pintasan-x pada satu titik, kita dapat menyimpulkan bahawa bucu adalah pintasan-x, yang bermaksud bahawa bucu itu (-1, 0). Kami secara efektif hanya mempunyai satu titik untuk parabola ini - tidak cukup untuk menggambar parabola yang baik. Mari cari beberapa titik lain untuk memastikan bahawa kita membuat grafik yang menyeluruh.

  • Mari cari nilai y untuk nilai x berikut: 0, 1, -2, dan -3.
  • Untuk 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Maksud kami ialah (0, 1).

  • Untuk 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Maksud kami ialah (1, 4).

  • Untuk -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Maksud kami ialah (-2, 1).

  • Untuk -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Maksud kami ialah (-3, 4).

  • Lukiskan titik-titik ini pada grafik dan lukiskan lengkung berbentuk U anda. Perhatikan bahawa parabola betul-betul simetris - apabila titik anda di satu sisi parabola adalah bilangan bulat, anda biasanya dapat mengurangkan kerja hanya mencerminkan titik tertentu pada paksi simetri parabola untuk mencari titik yang sama di sisi lain parabola.

Petua

• Nombor bulat atau gunakan pecahan mengikut permintaan guru aljabar anda. Ini akan membantu anda membuat grafik persamaan kuadratik dengan lebih baik.
• Perhatikan bahawa dalam f (x) = ax² + bx + c, jika b atau c sama dengan sifar, angka-angka ini akan hilang. Contohnya, 12x² + 0x + 6 menjadi 12x² + 6 kerana 0x adalah 0.