Polinomial mengandungi pemboleh ubah (x) dengan daya, yang dikenali sebagai darjah, dan beberapa istilah dan / atau pemalar. Untuk memfaktorkan polinomial bermaksud memecahkan persamaan menjadi persamaan yang lebih mudah yang boleh didarabkan. Kemahiran ini terdapat dalam Algebra 1 dan ke atas, dan mungkin sukar dipahami jika kemahiran matematik anda tidak berada di tahap ini.
Langkah
Mulakan
Langkah 1. Sediakan persamaan anda
Format standard untuk persamaan kuadratik adalah:
kapak2 + bx + c = 0
Mulakan dengan memerintahkan istilah dalam persamaan anda dari kuasa tertinggi hingga terendah, seperti dalam format standard ini. Sebagai contoh:
6 + 6x2 + 13x = 0
Kami akan menyusun semula persamaan ini supaya lebih mudah digunakan dengan hanya memindahkan syarat:
6x2 + 13x + 6 = 0
Langkah 2. Cari faktor bentuk menggunakan salah satu kaedah berikut
Memfaktorkan hasil polinomial dalam dua persamaan yang lebih mudah yang dapat digandakan untuk menghasilkan polinomial asal:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Dalam contoh ini, (2x + 3) dan (3x + 2) adalah faktor persamaan asal, 6x2 + 13x + 6.
Langkah 3. Periksa kerja anda
Gandakan faktor yang anda ada. Kemudian, gabungkan istilah seperti dan anda sudah selesai. Bermula dengan:
(2x + 3) (3x + 2)
Mari cuba, kalikan istilah menggunakan PLDT (pertama - luar - dalam - terakhir), menghasilkan:
6x2 + 4x + 9x + 6
Dari sini, kita boleh menambah 4x dan 9x kerana ia seperti istilah. Kami tahu bahawa faktor kami betul kerana kami mendapat persamaan asal:
6x2 + 13x + 6
Kaedah 1 dari 6: Percubaan dan Kesalahan
Sekiranya anda mempunyai polinomial yang cukup sederhana, anda mungkin dapat mengetahui faktor-faktor itu sendiri dengan melihatnya. Sebagai contoh, selepas latihan, ramai ahli matematik dapat mengetahui bahawa persamaannya 4x2 + 4x + 1 mempunyai faktor (2x + 1) dan (2x + 1) hanya dengan melihatnya dengan kerap. (Ini tentu tidak akan mudah bagi polinomial yang lebih rumit). Untuk contoh ini, mari gunakan persamaan yang kurang kerap digunakan:
3x2 + 2x - 8
Langkah 1. Tulis senarai faktor istilah a dan istilah c
Menggunakan format persamaan kapak2 + bx + c = 0, kenal pasti istilah a dan c dan tuliskan faktor-faktor yang dimiliki kedua-dua istilah tersebut. Untuk 3x2 + 2x - 8, bermaksud:
a = 3 dan mempunyai sekumpulan faktor: 1 * 3
c = -8 dan mempunyai empat set faktor: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, dan -1 * 8.
Langkah 2. Tuliskan dua set kurungan dengan ruang kosong
Anda akan mengisi kekosongan yang anda buat dengan pemalar untuk setiap persamaan:
(x) (x)
Langkah 3. Isi tempat kosong di hadapan x dengan kemungkinan pasangan faktor bagi nilai a
Untuk istilah a dalam contoh kami, 3x2, hanya ada satu kemungkinan untuk contoh kita:
(3x) (1x)
Langkah 4. Isi dua kekosongan selepas x dengan pasangan faktor bagi pemalar
Katakan kita memilih 8 dan 1. Tulis di dalamnya:
(3x
Langkah 8.)(
Langkah 1
Langkah 5. Tentukan tanda (tambah atau tolak) antara pemboleh ubah x dan nombor
Bergantung pada tanda-tanda dalam persamaan asal, mungkin mencari tanda-tanda pemalar. Katakan kita memanggil dua pemalar h dan k untuk dua faktor kita:
Sekiranya kapak2 + bx + c maka (x + h) (x + k)
Sekiranya kapak2 - bx - c atau kapak2 + bx - c maka (x - h) (x + k)
Sekiranya kapak2 - bx + c maka (x - h) (x - k)
Contohnya, 3x2 + 2x - 8, tanda-tandanya adalah: (x - h) (x + k), memberi kami dua faktor:
(3x + 8) dan (x - 1)
Langkah 6. Uji pilihan anda menggunakan pendaraban pertama-keluar-terakhir-terakhir (PLDT)
Ujian cepat pertama adalah untuk melihat sama ada istilah pertengahan sekurang-kurangnya mempunyai nilai yang betul. Sekiranya tidak, anda mungkin telah memilih faktor c yang salah. Mari uji jawapan kami:
(3x + 8) (x - 1)
Dengan pendaraban, kita mendapat:
3x2 - 3x + 8x - 8
Memudahkan persamaan ini dengan menambahkan istilah serupa (-3x) dan (8x), kami mendapat:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Sekarang kita tahu bahawa kita mesti menggunakan faktor yang salah:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Langkah 7. Ubah pilihan anda jika diperlukan
Dalam contoh kami, mari kita cuba 2 dan 4 dan bukannya 1 dan 8:
(3x + 2) (x - 4)
Sekarang istilah c kami adalah -8, tetapi produk luar / dalam kami (3x * -4) dan (2 * x) adalah -12x dan 2x, yang digabungkan tidak akan menghasilkan istilah b + 2x yang betul.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Langkah 8. Balikkan urutan jika perlu
Mari cuba tukar 2 dan 4:
(3x + 4) (x - 2)
Sekarang, istilah c kami (4 * 2 = 8) betul, tetapi produk luar / dalam adalah -6x dan 4x. Sekiranya kita menggabungkannya:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Kami hampir dengan 2x yang kami cari, tetapi tandanya salah.
Langkah 9. Periksa semula tag anda jika diperlukan
Kami akan menggunakan urutan yang sama, tetapi menukar persamaan yang mempunyai tanda tolak:
(3x - 4) (x + 2)
Sekarang istilah c tidak ada masalah, dan produk luar / dalaman semasa adalah (6x) dan (-4x). Kerana:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Sekarang kita boleh menggunakan positif 2x dari masalah asal. Ini mesti menjadi faktor yang betul.
Kaedah 2 dari 6: Penguraian
Kaedah ini akan mengenal pasti semua kemungkinan faktor terma a dan c dan menggunakannya untuk mencari faktor yang betul. Sekiranya jumlahnya terlalu besar atau meneka nampaknya memakan masa, gunakan kaedah ini. Mari gunakan contoh:
6x2 + 13x + 6
Langkah 1. Gandakan istilah a dengan istilah c
Dalam contoh ini, a adalah 6 dan c juga 6.
6 * 6 = 36
Langkah 2. Dapatkan istilah b dengan memfaktorkan dan menguji
Kami mencari dua nombor yang merupakan faktor produk a * c yang telah kami kenal pasti dan juga menambah istilah b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Langkah 3. Ganti dua nombor yang anda masukkan ke dalam persamaan anda sebagai hasil penambahan istilah b
Mari gunakan k dan h untuk mewakili dua nombor yang kita ada, 4 dan 9:
kapak2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Langkah 4. Faktor polinomial dengan mengelompokkan
Susun persamaan supaya anda dapat menggunakan faktor sepunya yang paling besar dari istilah pertama dan kedua. Kumpulan faktor mesti sama. Tambahkan Faktor Biasa Terbesar dan letakkan dalam kurungan di sebelah kumpulan faktor; hasilnya adalah dua faktor anda:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Kaedah 3 dari 6: Main Tiga Kali
Sama dengan kaedah penguraian, kaedah triple play mengkaji kemungkinan faktor-faktor penggandaan istilah a dan c dan menggunakan nilai b. Cuba gunakan persamaan contoh ini:
8x2 + 10x + 2
Langkah 1. Gandakan istilah a dengan istilah c
Seperti kaedah menghurai, ini akan membantu kita mengenal pasti calon penggal b. Dalam contoh ini, a adalah 8 dan c adalah 2.
8 * 2 = 16
Langkah 2. Cari dua nombor yang, apabila dikalikan dengan nombor, menghasilkan nombor ini dengan jumlah yang sama dengan istilah b
Langkah ini sama dengan menghuraikan - kami menguji dan membuang calon pemalar. Hasil sebutan a dan c ialah 16, dan istilah c adalah 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Langkah 3. Ambil dua nombor ini dan uji dengan memasukkannya ke dalam formula permainan tiga
Ambil dua nombor kami dari langkah sebelumnya - mari panggil mereka h dan k - dan pasangkannya ke dalam persamaan:
((ax + h) (ax + k)) / a
Kami akan mendapat:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Langkah 4. Perhatikan jika salah satu daripada dua istilah dalam pembilang dapat dibahagi dengan a
Dalam contoh ini, kita melihat jika (8x + 8) atau (8x + 2) dapat dibahagi dengan 8. (8x + 8) dibahagi dengan 8, jadi kita akan membahagikan istilah ini dengan a dan membiarkan faktor lain sahaja.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Istilah dalam kurungan di sini adalah apa yang tersisa setelah kita membahagikan dengan istilah a.
Langkah 5. Ambil faktor sepunya (GCF) terbesar bagi satu atau kedua-dua istilah, jika ada
Dalam contoh ini, istilah kedua, mempunyai GCF 2, kerana 8x + 2 = 2 (4x + 1). Gabungkan hasil ini dengan istilah yang anda dapat dari langkah sebelumnya. Ini adalah faktor dalam persamaan anda.
2 (x + 1) (4x + 1)
Kaedah 4 dari 6: Perbezaan Akar Persegi
Beberapa pekali dalam polinomial boleh berupa 'kuadrat', atau hasil dua nombor. Mengenal petak ini membolehkan anda memperbanyakkan beberapa polinomial dengan lebih cepat. Cuba persamaan ini:
27x2 - 12 = 0
Langkah 1. Keluarkan faktor sepunya yang paling besar jika boleh
Dalam kes ini, kita dapat melihat bahawa 27 dan 12 dapat dibahagi dengan 3, jadi kita mendapat:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Langkah 2. Kenal pasti jika pekali persamaan anda adalah nombor persegi
Untuk menggunakan kaedah ini, anda mesti dapat menggunakan punca kuasa dua istilah. (Perhatikan bahawa kita akan mengabaikan tanda negatif - kerana nombor ini adalah kotak, mereka boleh menjadi hasil daripada dua nombor positif atau negatif)
9x2 = 3x * 3x dan 4 = 2 * 2
Langkah 3. Menggunakan punca kuasa dua yang anda dapat, tuliskan faktornya
Kami akan mengambil nilai a dan c dari langkah kami di atas - a = 9 dan c = 4, kemudian cari punca kuasa dua - a = 3 dan c = 2. Hasilnya adalah pekali persamaan faktor:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Kaedah 5 dari 6: Formula Kuadratik
Sekiranya semuanya gagal dan persamaan tidak dapat difaktorkan secara keseluruhan, gunakan formula kuadratik. Cuba contoh ini:
x2 + 4x + 1 = 0
Langkah 1. Masukkan nilai yang diperlukan dalam formula kuadratik:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2a
Kami mendapat persamaan:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Langkah 2. Cari nilai x
Anda akan mendapat dua nilai. Seperti yang ditunjukkan di atas, kami mendapat dua jawapan:
x = -2 + (3) atau x = -2 - (3)
Langkah 3. Gunakan nilai-x anda untuk mencari faktornya
Pasang nilai x yang anda masukkan ke dalam dua persamaan polinomial sebagai pemalar. Hasilnya adalah faktor anda. Sekiranya kita menyebut jawapan kita h dan k, kita tuliskan dua faktor seperti berikut:
(x - h) (x - k)
Dalam contoh ini, jawapan terakhir kami adalah:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
Kaedah 6 dari 6: Menggunakan Kalkulator
Sekiranya anda dibenarkan menggunakan kalkulator, kalkulator grafik menjadikan proses pemfaktoran menjadi lebih mudah, terutamanya untuk ujian standard. Arahan ini adalah untuk kalkulator grafik TI. Kami akan menggunakan persamaan contoh:
y = x2 x 2
Langkah 1. Masukkan persamaan anda ke dalam kalkulator
Anda akan menggunakan pemfaktoran persamaan, yang tertulis [Y =] di skrin.
Langkah 2. Grafkan persamaan anda menggunakan kalkulator anda
Apabila anda memasukkan persamaan anda, tekan [GRAF] - anda akan melihat lengkung halus yang mewakili persamaan anda (dan bentuknya adalah lengkung kerana kami menggunakan polinomial).
Langkah 3. Cari lokasi di mana lengkung bersilang dengan paksi-x
Oleh kerana persamaan polinomial biasanya ditulis sebagai kapak2 + bx + c = 0, persimpangan ini adalah nilai kedua x yang menyebabkan persamaan menjadi sifar:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Sekiranya anda tidak dapat mengenal pasti di mana graf bersilang dengan paksi-x dengan melihatnya, tekan [2] dan kemudian [TRACE]. Tekan [2] atau pilih sifar. Gerakkan kursor ke kiri persimpangan dan tekan [ENTER]. Gerakkan kursor ke kanan persimpangan dan tekan [ENTER]. Gerakkan kursor sedekat mungkin dengan persimpangan dan tekan [ENTER]. Kalkulator akan mencari nilai x. Lakukan ini untuk persimpangan lain juga
Langkah 4. Pasangkan nilai x yang diperoleh dari langkah sebelumnya ke dalam dua persamaan faktorial
Sekiranya kita menamakan kedua-dua nilai x kita dan h, persamaan yang akan kita gunakan adalah:
(x - h) (x - k) = 0
Oleh itu, dua faktor kami adalah:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Petua
- Sekiranya anda mempunyai kalkulator TI-84 (grafik), ada program yang disebut SOLVER yang akan menyelesaikan persamaan kuadratik anda. Program ini akan menyelesaikan polinomial dari mana-mana peringkat.
- Sekiranya istilah tidak ditulis, pekali adalah 0. Adalah berguna untuk menulis semula persamaan jika ini berlaku, contohnya: x2 + 6 = x2 + 0x + 6.
- Sekiranya anda memperincikan polinomial anda menggunakan formula kuadratik dan mendapat jawapan dari segi punca, anda mungkin mahu menukar nilai x menjadi pecahan untuk diperiksa.
- Sekiranya istilah tidak mempunyai pekali bertulis, pekali adalah 1, contohnya: x2 = 1x2.
- Selepas latihan yang mencukupi, anda akhirnya dapat memfaktorkan polinomial di kepala anda. Sehingga anda dapat melakukannya, pastikan untuk selalu menulis caranya.
