Dalam matematik, pemfaktoran adalah kaedah mencari nombor atau ungkapan yang apabila didarab akan menghasilkan nombor atau persamaan yang diberikan. Pemfaktoran adalah kemahiran yang berguna untuk belajar menyelesaikan masalah algebra sederhana; keupayaan untuk membuat faktor dengan baik, menjadi penting ketika menangani persamaan kuadratik dan bentuk polinomial lain. Pemfaktoran boleh digunakan untuk mempermudah ungkapan algebra untuk menjadikan penyelesaiannya lebih mudah. Pemfaktoran bahkan dapat memberi anda kemampuan untuk menghilangkan kemungkinan jawapan tertentu, lebih cepat daripada menyelesaikannya secara manual.
Langkah
Kaedah 1 dari 3: Memfaktorkan Nombor dan Ungkapan Algebra Mudah
Langkah 1. Memahami definisi pemfaktoran apabila digunakan pada nombor tunggal
Pemfaktoran adalah konsep yang mudah, tetapi dalam praktiknya, ia boleh menjadi sangat mencabar apabila diterapkan pada persamaan kompleks. Oleh itu, paling mudah untuk mendekati konsep pemfaktoran dengan memulakan dengan nombor sederhana, kemudian meneruskan persamaan mudah, sebelum akhirnya beralih ke aplikasi yang lebih kompleks. Faktor nombor adalah nombor yang apabila didarabkan menghasilkan nombor. Contohnya, faktor 12 adalah 1, 12, 2, 6, 3, dan 4, kerana 1 × 12, 2 × 6, dan 3 × 4 sama dengan 12.
- Cara lain untuk memikirkannya adalah bahawa faktor nombor adalah nombor yang boleh membahagi sama rata menjadi nombor.
-
Bolehkah anda mencari semua faktor nombor 60? Kami menggunakan nombor 60 untuk pelbagai tujuan (minit dalam satu jam, detik dalam satu minit, dan lain-lain) kerana ia dapat dibahagi dengan banyak nombor lain.
Faktor 60 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, dan 60
Langkah 2. Fahami bahawa ungkapan pemboleh ubah juga boleh difaktorkan
Sama seperti nombor itu sendiri boleh difaktorkan, pemboleh ubah dengan pekali nombor juga boleh difaktorkan. Untuk melakukan ini, cari faktor pekali pemboleh ubah. Mengetahui bagaimana faktor pemboleh ubah sangat berguna untuk mempermudah persamaan algebra yang melibatkan pemboleh ubah tersebut.
-
Sebagai contoh, pemboleh ubah 12x boleh ditulis sebagai produk faktor 12 dan x. Kita boleh menulis 12x sebagai 3 (4x), 2 (6x), dan lain-lain, dengan menggunakan mana-mana faktor dari 12 yang paling sesuai untuk tujuan kita.
Kita boleh membuat faktor 12x berkali-kali. Dengan kata lain, kita tidak perlu berhenti pada 3 (4x) atau 2 (6x) - kita boleh memfaktorkan 4x dan 6x untuk menghasilkan 3 (2 (2x) dan 2 (3 (2x). Sudah tentu, kedua-dua ungkapan ini setaraf
Langkah 3. Gunakan sifat pendaraban pendaraban ke persamaan algebra
Dengan menggunakan pengetahuan anda tentang faktor faktor nombor tunggal dan pemboleh ubah dengan pekali, anda boleh mempermudah persamaan algebra sederhana dengan mencari faktor yang dibahagi nombor dan pemboleh ubah dalam persamaan algebra. Biasanya, untuk mempermudah persamaan, kami berusaha mencari faktor sepunya yang paling besar. Proses penyederhanaan ini mungkin berlaku kerana sifat pendaraban pendaraban, yang berlaku untuk nombor a, b, dan c. a (b + c) = ab + ac.
- Mari cuba contoh soalan. Untuk memfaktorkan persamaan algebra 12x + 6, pertama, mari kita cuba mencari faktor sepunya terbesar 12x dan 6. 6 adalah nombor terbesar yang dapat membahagi 12x dan 6 secara merata, sehingga kita dapat mempermudah persamaan menjadi 6 (2x + 1).
- Proses ini juga berlaku untuk persamaan dengan nombor dan pecahan negatif. Contohnya, x / 2 + 4, boleh dipermudah menjadi 1/2 (x + 8), dan -7x + -21 boleh difaktorkan menjadi -7 (x + 3).
Kaedah 2 dari 3: Memfaktorkan Persamaan Kuadratik
Langkah 1. Pastikan persamaan dalam bentuk kuadratik (kapak2 + bx + c = 0).
Persamaan kuadratik mempunyai bentuk kapak2 + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah pemalar nombor dan tidak sama dengan 0 (perhatikan bahawa a dapat sama dengan 1 atau -1). Sekiranya anda mempunyai persamaan yang mempunyai satu pemboleh ubah (x) yang mempunyai satu istilah x hingga dua atau lebih, anda biasanya memindahkan istilah ini dalam persamaan menggunakan operasi algebra sederhana untuk mendapatkan 0 di kedua-dua sisi tanda dan kapak sama2, dan lain-lain. di sebelah sana.
- Sebagai contoh, mari kita fikirkan persamaan algebra. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 boleh dipermudahkan menjadi x2 + 6x + 9 = 0, yang merupakan bentuk segiempat sama.
- Persamaan dengan kuasa x yang lebih besar, seperti x3, x4, dan lain-lain. bukan persamaan kuadratik. Persamaan ini adalah persamaan kubik, dengan daya keempat, dan seterusnya, kecuali persamaan dapat dipermudah untuk menghilangkan istilah x ini dengan kuasa yang lebih besar dari 2.
Langkah 2. Dalam persamaan kuadratik, di mana a = 1, faktor ke (x + d) (x + e), di mana d × e = c dan d + e = b
Sekiranya persamaan kuadratik anda dalam bentuk x2 + bx + c = 0 (dengan kata lain, jika pekali istilah x2 = 1), ada kemungkinan (tetapi tidak dijamin) kaedah singkatan yang cukup mudah dapat digunakan untuk memperhitungkan persamaan. Cari dua nombor yang apabila didarab memberikan c dan ditambah hingga menghasilkan b. Setelah mencari dua nombor d dan e ini, masukkannya dalam ungkapan berikut: (x + d) (x + e). Kedua istilah ini, apabila digandakan, memberi anda persamaan kuadratik anda - dengan kata lain, ini adalah faktor persamaan kuadratik anda.
- Sebagai contoh, mari kita fikirkan persamaan kuadratik x2 + 5x + 6 = 0. 3 dan 2 digandakan untuk memberi 6 dan juga ditambahkan untuk memberi 5, jadi kita dapat mempermudah persamaan ini menjadi (x + 3) (x + 2).
-
Perbezaan sedikit dalam kaedah ringkas ini terletak pada perbezaan persamaan itu sendiri:
- Sekiranya persamaan kuadratik dalam bentuk x2-bx + c, jawapan anda adalah dalam bentuk ini: (x - _) (x - _).
- Sekiranya persamaan itu dalam bentuk x2+ bx + c, jawapan anda kelihatan seperti ini: (x + _) (x + _).
- Sekiranya persamaan dalam bentuk x2-bx-c, jawapan anda adalah dalam bentuk (x + _) (x - _).
- Catatan: nombor di tempat kosong boleh menjadi pecahan atau perpuluhan. Contohnya, persamaan x2 + (21/2) x + 5 = 0 diperhitungkan menjadi (x + 10) (x + 1/2).
Langkah 3. Sekiranya boleh, faktorkan melalui pemeriksaan
Percaya atau tidak, untuk persamaan kuadratik yang tidak rumit, salah satu kaedah pemfaktoran yang dibenarkan adalah memeriksa masalahnya, kemudian pertimbangkan kemungkinan jawapan sehingga anda menemui jawapan yang betul. Kaedah ini juga dikenali sebagai pemfaktoran melalui pemeriksaan. Sekiranya persamaan dalam bentuk kapak2+ bx + c dan a> 1, jawapan faktor anda adalah dalam bentuk (dx +/- _) (ex +/- _), di mana d dan e adalah pemalar nombor bukan sifar yang apabila didarabkan memberikan a. Baik d maupun e (atau keduanya) dapat 1, walaupun tidak harus. Sekiranya kedua-duanya adalah 1, anda pada dasarnya menggunakan kaedah singkatan yang dinyatakan di atas.
Mari fikirkan masalah contoh. 3x2 - 8x + 4 kelihatan sukar pada mulanya. Namun, setelah kita menyedari bahawa 3 hanya mempunyai dua faktor (3 dan 1), persamaan ini menjadi lebih mudah kerana kita tahu bahawa jawapan kita mestilah dalam bentuk (3x +/- _) (x +/- _). Dalam kes ini, menambahkan -2 pada kedua-dua tempat kosong memberikan jawapan yang betul. -2 × 3x = -6x dan -2 × x = -2x. -6x dan -2x tambah hingga -8x. -2 × -2 = 4, jadi kita dapat melihat bahawa istilah yang difaktorkan dalam kurungan apabila didarabkan menghasilkan persamaan asal.
Langkah 4. Selesaikan dengan menyelesaikan petak
Dalam beberapa kes, persamaan kuadratik dapat difaktorkan dengan cepat dan mudah menggunakan identiti algebra khas. Sebarang persamaan kuadratik dalam bentuk x2 + 2xh + j2 = (x + j)2. Oleh itu, jika dalam persamaan anda, nilai b anda adalah dua kali punca kuasa dua dari nilai c anda, persamaan anda boleh menjadi faktor (x + (root (c)))2.
Contohnya, persamaan x2 + 6x + 9 mempunyai bentuk ini. 32 ialah 9 dan 3 × 2 ialah 6. Oleh itu, kita tahu bahawa bentuk faktor persamaan ini adalah (x + 3) (x + 3), atau (x + 3)2.
Langkah 5. Gunakan faktor untuk menyelesaikan persamaan kuadratik
Terlepas dari bagaimana anda memperhitungkan persamaan kuadratik anda, setelah persamaan itu difaktorkan, anda dapat mencari kemungkinan jawapan terhadap nilai x dengan menjadikan setiap faktor sama dengan sifar dan menyelesaikannya. Oleh kerana anda mencari nilai x yang menjadikan persamaan anda sama dengan sifar, nilai x yang menjadikan sebarang faktor sama dengan sifar adalah jawapan yang mungkin bagi persamaan kuadratik anda.
Mari kembali ke persamaan x2 + 5x + 6 = 0. Persamaan ini diperhitungkan menjadi (x + 3) (x + 2) = 0. Sekiranya salah satu faktor sama dengan 0, semua persamaan sama dengan 0, maka kemungkinan jawapan kita untuk x adalah nombor- nombor yang menjadikan (x + 3) dan (x + 2) sama 0. Nombor ini masing-masing adalah -3 dan -2.
Langkah 6. Periksa jawapan anda - beberapa jawapan mungkin mengelirukan
Apabila anda menjumpai kemungkinan jawapan untuk x, pasangkan kembali ke persamaan asal anda untuk melihat apakah jawapannya betul. Kadang kala, jawapan yang anda temukan tidak menjadikan persamaan asal sama dengan sifar apabila dimasukkan semula. Kami menyebut jawapan ini menyimpang dan mengabaikannya.
-
Mari letakkan -2 dan -3 ke dalam x2 + 5x + 6 = 0. Pertama, -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Jawapan ini betul, jadi -2 adalah jawapan yang betul.
-
Sekarang, mari kita cuba -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Jawapan ini juga betul, jadi -3 adalah jawapan yang betul.
Kaedah 3 dari 3: Memfaktorkan Persamaan Lain
Langkah 1. Sekiranya persamaan dinyatakan dalam bentuk a2-b2, faktor menjadi (a + b) (a-b).
Persamaan dengan dua pemboleh ubah mempunyai faktor yang berbeza daripada persamaan kuadratik asas. Untuk persamaan a2-b2 apa sahaja di mana a dan b tidak sama dengan 0, faktor persamaannya adalah (a + b) (a-b).
Contohnya, persamaan 9x2 - 4y2 = (3x + 2y) (3x - 2y).
Langkah 2. Sekiranya persamaan dinyatakan dalam bentuk a2+ 2ab + b2, faktor ke dalam (a + b)2.
Perhatikan bahawa, jika trinomial berbentuk a2-2ab + b2, faktor bentuknya sedikit berbeza: (a-b)2.
Persamaan 4x2 + 8xy + 4y2 boleh ditulis semula sebagai 4x2 + (2 × 2 × 2) xy + 4y2. Sekarang, kita dapat melihat bahawa bentuknya betul, jadi kita dapat memastikan bahawa faktor persamaan kita adalah (2x + 2y)2
Langkah 3. Sekiranya persamaan dinyatakan dalam bentuk a3-b3, faktor menjadi (a-b) (a2+ ab + b2).
Akhirnya, telah disebutkan bahawa persamaan kubik dan kuasa yang lebih tinggi dapat difaktorkan, walaupun proses pemfaktoran dengan cepat menjadi sangat rumit.
Contohnya, 8x3 - 27y3 difaktorkan kepada (2x - 3y) (4x2 + ((2x) (3y)) + 9y2)
Petua
- a2-b2 boleh difaktorkan, a2+ b2 tidak boleh difaktorkan.
- Ingat bagaimana membuat pemalar. Ini mungkin membantu.
- Berhati-hati dengan pecahan dalam proses pemfaktoran dan bekerjasama dengan pecahan dengan betul dan berhati-hati.
- Sekiranya anda mempunyai trinomial bentuk x2+ bx + (b / 2)2, faktor bentuk adalah (x + (b / 2))2. (Anda mungkin menghadapi situasi ini semasa menyelesaikan petak.)
- Ingat bahawa a0 = 0 (harta produk sifar).
