Dalam "sistem persamaan", anda diminta menyelesaikan dua atau lebih persamaan secara serentak. Apabila kedua persamaan mempunyai dua pemboleh ubah yang berbeza, misalnya x dan y, penyelesaiannya mungkin sukar pada mulanya. Nasib baik, setelah anda mengetahui apa yang perlu anda lakukan, anda boleh menggunakan kemahiran algebra anda (dan sains mengira pecahan) untuk menyelesaikan masalah. Pelajari juga cara melukis dua persamaan ini jika anda seorang pelajar visual, atau dikehendaki oleh guru. Lukisan akan membantu anda mengenal pasti isi pelajaran atau memeriksa hasil kerja anda. Walau bagaimanapun, kaedah ini lebih lambat daripada kaedah lain, dan tidak dapat digunakan untuk semua sistem persamaan.
Langkah
Kaedah 1 dari 3: Menggunakan Kaedah Penggantian
Langkah 1. Pindahkan pemboleh ubah ke seberang persamaan
Kaedah penggantian dimulakan dengan "mencari nilai x" (atau pemboleh ubah lain) dalam salah satu persamaan. Sebagai contoh, katakan persamaan masalahnya 4x + 2y = 8 dan 5x + 3y = 9. Mulakan dengan mengerjakan persamaan pertama. Susun semula persamaan dengan mengurangkan 2y di kedua sisi. Oleh itu, anda mendapat 4x = 8 - 2y.
Kaedah ini sering menggunakan pecahan pada akhir. Sekiranya anda tidak suka mengira pecahan, cuba kaedah penghapusan di bawah
Langkah 2. Bahagikan kedua-dua sisi persamaan untuk "cari nilai x"
Setelah istilah x (atau apa sahaja pemboleh ubah yang anda gunakan) berada di satu sisi persamaan, bahagikan kedua sisi persamaan dengan pekali sehingga hanya pembolehubah yang tinggal. Sebagai contoh:
- 4x = 8 - 2y
- (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
- x = 2 - y
Langkah 3. Pasangkan nilai x dari persamaan pertama ke persamaan kedua
Pastikan anda memasukkannya ke persamaan kedua, bukannya yang baru anda kerjakan. Ganti (ganti) pemboleh ubah x dalam persamaan kedua. Oleh itu, persamaan kedua kini hanya mempunyai satu pemboleh ubah. Sebagai contoh:
- Dikenali x = 2 - y.
- Persamaan kedua anda ialah 5x + 3y = 9.
- Setelah menukar pemboleh ubah x dalam persamaan kedua dengan nilai x dari persamaan pertama, kita mendapat "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
Langkah 4. Selesaikan pemboleh ubah yang tinggal
Sekarang, persamaan anda hanya mempunyai satu pemboleh ubah. Hitung persamaan dengan operasi algebra biasa untuk mencari nilai pemboleh ubah. Sekiranya kedua-dua pemboleh ubah saling membatalkan, langkau terus ke langkah terakhir. Jika tidak, anda akan mendapat nilai untuk salah satu pemboleh ubah:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Sekiranya anda tidak memahami langkah ini, pelajari cara menambahkan pecahan.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Langkah 5. Gunakan jawapan yang diperoleh untuk mencari nilai sebenar x dalam persamaan pertama
Jangan berhenti begitu sahaja kerana pengiraan anda belum selesai. Anda mesti memasukkan jawapan yang diperoleh ke persamaan pertama untuk mencari nilai pemboleh ubah yang tinggal:
- Dikenali y = -2
- Salah satu persamaan dalam persamaan pertama adalah 4x + 2y = 8. (Anda boleh menggunakan salah satu.)
- Gantikan pemboleh ubah y dengan -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Langkah 6. Ketahui apa yang harus dilakukan sekiranya kedua-dua pemboleh ubah saling membatalkan
Semasa anda masuk x = 3y + 2 atau jawapan yang serupa dengan persamaan kedua, yang bermaksud anda berusaha mendapatkan persamaan yang hanya mempunyai satu pemboleh ubah. Kadang kala, anda hanya mendapat persamaan tanpa pemboleh ubah. Periksa semula kerja anda, dan pastikan anda telah meletakkan (menyusun semula) persamaan satu menjadi persamaan dua, dan bukannya kembali ke persamaan pertama. Apabila anda pasti tidak melakukan sesuatu yang salah, tulis salah satu hasil berikut:
- Sekiranya persamaan tidak mempunyai pemboleh ubah dan tidak benar (contohnya, 3 = 5), masalah ini tiada jawapan. (Apabila ini digambarkan, kedua persamaan ini selari dan tidak pernah bertemu.)
- Sekiranya persamaan tidak mempunyai pemboleh ubah dan Betul, (mis. 3 = 3), yang bermaksud bahawa soalan itu ada jawapan tidak terhad. Persamaan satu sama persamaan dengan persamaan dua. (Apabila digambarkan, kedua persamaan ini adalah garis yang sama.)
Kaedah 2 dari 3: Menggunakan Kaedah Penghapusan
Langkah 1. Cari pemboleh ubah yang saling eksklusif
Kadang-kadang, persamaan dalam masalah sudah ada saling membatalkan apabila ditambah. Contohnya, jika anda melakukan persamaan 3x + 2y = 11 dan 5x - 2y = 13, istilah "+ 2y" dan "-2y" akan saling membatalkan dan mengeluarkan pemboleh ubah "y" dari persamaan. Lihat persamaan dalam masalah tersebut, dan lihat apakah ada pemboleh ubah yang saling membatalkan, seperti dalam contoh. Sekiranya tidak, teruskan ke langkah seterusnya.
Langkah 2. Gandakan persamaan dengan satu sehingga satu pemboleh ubah dikeluarkan
(Lewati langkah ini jika pemboleh ubah sudah saling membatalkan.) Jika persamaan tidak mempunyai pemboleh ubah yang membatalkannya sendiri, ubah salah satu persamaan sehingga mereka dapat saling membatalkan. Lihat contoh berikut supaya anda dapat memahaminya dengan mudah:
- Persamaan dalam masalahnya adalah 3x - y = 3 dan - x + 2y = 4.
- Mari ubah persamaan pertama supaya pemboleh ubah y saling membatalkan. (Anda mungkin menggunakan pemboleh ubah x. Jawapan akhir yang diperoleh akan sama.)
- Pembolehubah - y pada persamaan pertama mesti dihapuskan oleh + 2y dalam persamaan kedua. Caranya, banyakkan - y dengan 2.
- Gandakan kedua-dua sisi persamaan dengan 2, seperti berikut: 2 (3x - y) = 2 (3), begitu 6x - 2y = 6. Sekarang, suku - 2y akan saling membatalkan dengan + 2y dalam persamaan kedua.
Langkah 3. Gabungkan dua persamaan
Caranya adalah dengan menambah sebelah kanan persamaan pertama ke sebelah kanan persamaan kedua, dan menambahkan sebelah kiri persamaan pertama ke sebelah kiri persamaan kedua. Sekiranya dilakukan dengan betul, salah satu pemboleh ubah akan saling membatalkan. Mari cuba meneruskan pengiraan dari contoh sebelumnya:
- Dua persamaan anda adalah 6x - 2y = 6 dan - x + 2y = 4.
- Tambahkan bahagian kiri dua persamaan: 6x - 2y - x + 2y =?
- Tambahkan sisi kanan kedua persamaan: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Langkah 4. Dapatkan nilai pemboleh ubah terakhir
Permudahkan persamaan kompaun anda, dan bekerjasama dengan algebra standard untuk mendapatkan nilai pemboleh ubah terakhir. Sekiranya, setelah dipermudahkan, persamaan tidak mempunyai pemboleh ubah, teruskan ke langkah terakhir di bahagian ini.
Jika tidak, anda akan mendapat nilai untuk salah satu pemboleh ubah. Sebagai contoh:
- Dikenali 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Pemboleh ubah kumpulan x dan y bersama: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Permudahkan persamaan: 5x = 10
- Cari nilai x: (5x) / 5 = 10/5, untuk mendapatkan x = 2.
Langkah 5. Cari nilai pemboleh ubah lain
Anda telah menemui nilai satu pemboleh ubah, tetapi bagaimana dengan yang lain? Masukkan jawapan anda ke salah satu persamaan untuk mencari nilai pemboleh ubah yang tinggal. Sebagai contoh:
- Dikenali x = 2, dan salah satu persamaan dalam masalahnya adalah 3x - y = 3.
- Gantikan pemboleh ubah x dengan 2: 3 (2) - y = 3.
- Cari nilai y dalam persamaan: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, begitu 6 = 3 + y
- 3 = y
Langkah 6. Ketahui apa yang harus dilakukan apabila kedua pemboleh ubah saling membatalkan
Kadang kala, menggabungkan dua persamaan menghasilkan persamaan yang tidak masuk akal, atau tidak membantu anda menyelesaikan masalah. Kaji karya anda, dan jika anda yakin bahawa anda tidak melakukan kesalahan, tulis salah satu daripada dua jawapan berikut:
- Sekiranya persamaan gabungan tidak mempunyai pemboleh ubah dan tidak benar (misalnya, 2 = 7), masalah ini tiada jawapan. Jawapan ini berlaku untuk kedua-dua persamaan. (Apabila ini digambarkan, kedua persamaan ini selari dan tidak pernah bertemu.)
- Sekiranya persamaan gabungan tidak mempunyai pemboleh ubah dan Betul, (mis. 0 = 0), yang bermaksud bahawa soalan itu ada jawapan tidak terhad. Kedua persamaan ini sama antara satu sama lain. (Apabila digambarkan, kedua persamaan ini adalah garis yang sama.)
Kaedah 3 dari 3: Lukiskan Graf Persamaan
Langkah 1. Lakukan kaedah ini hanya apabila diperintahkan
Kecuali anda menggunakan komputer atau kalkulator grafik, kaedah ini hanya dapat memberikan jawapan anggaran. Guru atau buku teks anda mungkin memberitahu anda untuk menggunakan kaedah ini untuk membiasakan diri melukis persamaan sebagai garis. Kaedah ini juga boleh digunakan untuk memeriksa jawapan salah satu kaedah di atas.
Idea utamanya ialah anda perlu menerangkan dua persamaan dan mencari titik persimpangan mereka. Nilai x dan y pada titik persimpangan ini adalah jawapan kepada masalah tersebut
Langkah 2. Cari nilai-y bagi kedua-dua persamaan tersebut
Jangan gabungkan dua persamaan, dan ubah setiap persamaan sehingga formatnya adalah "y = _x + _". Sebagai contoh:
- Persamaan pertama anda ialah 2x + y = 5. Bertukar kepada y = -2x + 5.
- Persamaan pertama anda ialah - 3x + 6y = 0. Bertukar kepada 6y = 3x + 0, dan permudahkan untuk y = x + 0.
- Sekiranya kedua-dua persamaan anda sama, keseluruhan garis adalah "persimpangan" kedua persamaan. Tulis jawapan tidak terhad sebagai jawapan.
Langkah 3. Lukis paksi koordinat
Lukis garis “paksi-y” menegak dan garis “paksi-x” mendatar pada kertas graf. Bermula pada titik di mana kedua paksi bersilang (0, 0), tuliskan label nombor 1, 2, 3, 4, dan seterusnya secara berurutan menunjuk ke atas paksi-y, dan menunjuk ke kanan pada paksi-x. Selepas itu, tuliskan label nombor -1, -2, dan seterusnya secara berurutan menunjuk ke bawah pada paksi-y, dan menunjuk ke kiri pada paksi-x.
- Sekiranya anda tidak mempunyai kertas graf, gunakan pembaris untuk memastikan jarak antara setiap nombor adalah sama.
- Sekiranya anda menggunakan angka atau perpuluhan dalam jumlah besar, kami mengesyorkan agar skala grafik anda (mis. 10, 20, 30 atau 0, 1, 0, 2, 0, 3 dan bukannya 1, 2, 3).
Langkah 4. Lukis titik pintasan-y untuk setiap persamaan
Sekiranya persamaan dalam bentuk y = _x + _, anda boleh mula melukis graf dengan membuat titik di mana garis persamaan bersilang dengan paksi-y. Nilai y selalu sama dengan nombor terakhir dalam persamaan.
-
Meneruskan contoh sebelumnya, baris pertama (y = -2x + 5) memotong paksi-y di
Langkah 5.. baris kedua (y = x + 0) memotong paksi-y di 0. (Titik-titik ini ditulis sebagai (0, 5) dan (0, 0) pada grafik.)
- Sekiranya boleh, lukiskan garis pertama dan kedua dengan pen atau pensil berwarna yang berbeza.
Langkah 5. Gunakan cerun untuk meneruskan garisan
Dalam format persamaan y = _x + _, nombor di depan x menunjukkan "tahap cerun" garis. Setiap kali x dinaikkan satu, nilai y akan meningkat dengan bilangan tahap cerun. Gunakan maklumat ini untuk mencari titik bagi setiap baris pada grafik apabila x = 1. (Anda juga boleh memasukkan x = 1 dalam setiap persamaan dan mencari nilai y.)
- Meneruskan contoh sebelumnya, garis y = -2x + 5 mempunyai cerun - 2. Pada titik x = 1, garis bergerak turun dengan 2 dari titik x = 0. Lukis garis yang menghubungkan (0, 5) dengan (1, 3).
- Garisan y = x + 0 mempunyai cerun ½. Pada x = 1, garis bergerak menaiki dari titik x = 0. Lukis garis yang menghubungkan (0, 0) dengan (1,).
- Sekiranya dua garisan mempunyai cerun yang sama, kedua-duanya tidak akan bersilang. Oleh itu, sistem persamaan ini tidak mempunyai jawapan. Tulis tiada jawapan sebagai jawapan.
Langkah 6. Teruskan menyambungkan garisan sehingga kedua-dua garisan itu bersilang
Berhenti bekerja dan lihat grafik anda. jika kedua-dua garis saling bersilang, teruskan ke langkah seterusnya. Sekiranya tidak, buat keputusan berdasarkan kedudukan dua baris anda:
- Sekiranya kedua-dua garis saling menghampiri, terus sambungkan titik-titik jalur anda.
- Sekiranya kedua-dua garisan saling menjauh antara satu sama lain, kembali dan sambungkan titik-titik ke arah yang bertentangan, bermula pada x = 1.
- Sekiranya kedua-dua garisan itu berjauhan, cuba lompat dan sambungkan titik lebih jauh, misalnya x = 10.
Langkah 7. Cari jawapan pada titik persimpangan
Setelah dua garis bersilang, nilai x dan y pada ketika itu adalah jawapan kepada masalah anda. Sekiranya anda bernasib baik, jawapannya adalah nombor bulat. Sebagai contoh, dalam contoh kita, dua garis bersilang pada titik (2, 1) jadi jawapannya adalah x = 2 dan y = 1. Dalam beberapa sistem persamaan, titik di mana garis bersilang berada di antara dua nombor bulat, dan jika graf tidak begitu tepat, sukar untuk menentukan di mana nilai x dan y berada di titik persimpangan. Sekiranya dibenarkan, anda boleh menulis "x adalah antara 1 dan 2" sebagai jawapannya, atau menggunakan kaedah penggantian atau penghapusan untuk mencari jawapannya.
Petua
- Anda boleh menyemak karya anda dengan memasukkan jawapan ke persamaan asal. Sekiranya persamaan itu ternyata benar (mis. 3 = 3), ini bermakna jawapan anda betul.
- Semasa menggunakan kaedah penghapusan, kadang-kadang anda harus mengalikan persamaan dengan nombor negatif sehingga pemboleh ubah dapat membatalkan satu sama lain.
