3 Cara Menyelesaikan Persamaan Kubik

2024 Pengarang: Jason Gerald | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-16 19:47

Semasa anda pertama kali menemui persamaan kubik (yang berbentuk kapak ³ + bx ² + cx + d = 0), mungkin anda berfikir bahawa masalahnya akan sukar diselesaikan. Tetapi ketahui bahawa menyelesaikan persamaan kubik sebenarnya telah wujud selama berabad-abad! Penyelesaian ini, yang ditemui oleh ahli matematik Itali Niccolò Tartaglia dan Gerolamo Cardano pada tahun 1500-an, adalah salah satu formula pertama yang diketahui di Yunani kuno dan Rom. Menyelesaikan persamaan kubik mungkin sedikit sukar, tetapi dengan pendekatan yang betul (dan pengetahuan yang mencukupi), persamaan kubik yang paling sukar dapat diselesaikan.

Langkah

Kaedah 1 dari 3: Menyelesaikan Menggunakan Persamaan Kuadratik

Langkah 1. Periksa sama ada persamaan padu anda mempunyai pemalar

Seperti yang dinyatakan di atas, bentuk persamaan kubik adalah kapak ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, dan nilai d boleh 0 tanpa mempengaruhi bentuk persamaan kubik ini; ini pada dasarnya bermaksud bahawa persamaan kubik tidak semestinya merangkumi nilai bx ², cx, atau d untuk menjadi persamaan kubik. Untuk mula menggunakan kaedah penyelesaian persamaan kubik yang cukup mudah ini, periksa untuk mengetahui sama ada persamaan kubik anda mempunyai pemalar (atau nilai d). Sekiranya persamaan anda tidak mempunyai pemalar atau nilai untuk d, maka anda boleh menggunakan persamaan kuadratik untuk mencari jawapan kepada persamaan kubik setelah beberapa langkah.

Sebaliknya, jika persamaan anda mempunyai nilai tetap, anda memerlukan penyelesaian lain. Lihat langkah di bawah untuk pendekatan lain

Langkah 2. Faktorkan nilai x dari persamaan kubik

Oleh kerana persamaan anda tidak mempunyai nilai tetap, semua komponen di dalamnya mempunyai pemboleh ubah x. Ini bermaksud bahawa nilai x ini boleh diambil kira dari persamaan untuk mempermudahnya. Lakukan langkah ini dan tulis semula persamaan kubik anda dalam bentuk x (kapak ² + bx + c).

Sebagai contoh, katakan bahawa persamaan kubik asal di sini ialah 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Dengan memfaktorkan satu pemboleh ubah x dari persamaan ini, kita mendapat persamaan x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Langkah 3. Gunakan persamaan kuadratik untuk menyelesaikan persamaan dalam kurungan

Anda mungkin menyedari bahawa beberapa persamaan baru anda, yang dilampirkan dalam tanda kurung, adalah dalam bentuk persamaan kuadratik (kapak ² + bx + c). Ini bermaksud bahawa kita dapat mencari nilai yang diperlukan untuk menjadikan persamaan ini sama dengan sifar dengan memasukkan a, b, dan c ke dalam formula persamaan kuadratik ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)} / 2 a). Lakukan pengiraan ini untuk mencari dua jawapan bagi persamaan kubik anda.

• Dalam contoh kami, pasangkan nilai a, b, dan c (masing-masing 3, -2, dan 14) ke dalam persamaan kuadratik seperti berikut:

  {- b +/- √ (b ²- 4 ac)} / 2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Jawapan 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12.8 i} / 6

• Jawapan 2:

  {2 - 12.8 i} / 6

Langkah 4. Gunakan sifar dan jawapan anda untuk persamaan kuadratik anda sebagai jawapan kepada persamaan kubik anda

Persamaan kuadratik akan mempunyai dua jawapan, sedangkan persamaan kubik mempunyai tiga jawapan. Anda sudah mengetahui dua jawapan daripada tiga; yang anda dapat dari bahagian "kuasa dua" persamaan dalam tanda kurung. Sekiranya persamaan kubik anda dapat diselesaikan dengan "faktorisasi" seperti ini, jawapan ketiga anda hampir selalu 0. Selamat! Anda baru sahaja menyelesaikan persamaan kubik.

Sebab yang menjadikan kaedah ini berfungsi adalah fakta asas bahawa "sebarang nombor dikalikan dengan sifar sama dengan sifar". Apabila anda memfaktorkan persamaan anda ke dalam bentuk x (kapak ² + bx + c) = 0, pada dasarnya anda hanya membahagikannya kepada dua "bahagian"; satu bahagian adalah pemboleh ubah x di sebelah kiri dan bahagian yang lain adalah persamaan kuadratik dalam kurungan. Sekiranya salah satu daripada dua bahagian ini adalah sifar, maka keseluruhan persamaan juga akan menjadi sifar. Oleh itu, dua jawapan untuk persamaan kuadratik dalam kurungan, yang menjadikannya sifar, adalah jawapan untuk persamaan kubik, dan juga 0 itu sendiri - yang akan menjadikan bahagian di sebelah kiri juga sifar.

Kaedah 2 dari 3: Mencari Jawapan Bilangan Bilangan Menggunakan Senarai Faktor

Langkah 1. Pastikan persamaan kubik anda mempunyai nilai tetap

Walaupun kaedah yang dijelaskan di atas cukup mudah digunakan kerana anda tidak perlu mempelajari teknik pengiraan baru untuk menggunakannya, mereka tidak akan selalu membantu anda menyelesaikan persamaan kubik. Sekiranya persamaan kubik anda berbentuk kapak ³ + bx ² + cx + d = 0, di mana nilai d tidak sama dengan sifar, kaedah "faktorisasi" di atas tidak berfungsi, jadi anda perlu menggunakan salah satu kaedah di bahagian ini untuk menyelesaikannya.

Sebagai contoh, katakan kita mempunyai persamaan 2 x ³ + 9 x ² + 13 x = -6. Dalam kes ini, untuk mendapatkan sifar di sebelah kanan persamaan, kita mesti menambah 6 pada kedua sisi. Selepas itu, kita akan mendapat persamaan baru 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, dengan nilai d = 6, jadi kami tidak dapat menggunakan kaedah "faktorisasi" seperti pada metode sebelumnya.

Langkah 2. Cari faktor a dan d

Untuk menyelesaikan persamaan kubik anda, mulakan dengan mencari faktor a (pekali x ³) dan d (nilai malar pada akhir persamaan). Ingat, faktor adalah nombor yang boleh dikalikan satu sama lain untuk menghasilkan nombor tertentu. Sebagai contoh, kerana anda boleh memperoleh 6 dengan mengalikan 6 × 1 dan 2 × 3, 1, 2, 3, dan 6 adalah faktor 6.

• Dalam masalah contoh yang kita gunakan, a = 2 dan d = 6. Faktor 2 ialah 1 dan 2. Manakala faktor 6 adalah 1, 2, 3, dan 6.

  

  Langkah 3. Bahagikan faktor a dengan faktor d

  Seterusnya, senaraikan nilai yang anda dapat dengan membahagikan setiap faktor a dengan setiap faktor d. Pengiraan ini biasanya menghasilkan banyak nilai pecahan dan beberapa nombor bulat. Nilai integer untuk menyelesaikan persamaan kubik anda adalah salah satu bilangan bulat yang diperoleh daripada pengiraan.

  Dalam persamaan kami, bahagikan nilai faktor a (1, 2) dengan faktor d (1, 2, 3, 6) dan dapatkan hasil berikut: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, dan 2/3. Seterusnya, tambahkan nilai negatif ke dalam senarai, dan kami mendapat: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3, dan -2/3. Jawapan untuk persamaan kubik - yang merupakan bilangan bulat, ada dalam senarai.

  

  Langkah 4. Gunakan pembahagian sintetik untuk menyemak jawapan anda secara manual

  Setelah anda mempunyai senarai nilai seperti yang ada di atas, anda dapat mencari nilai integer yang merupakan jawapan kepada persamaan kubik anda dengan memasukkan setiap bilangan bulat secara manual, dan mencari nilai mana yang mengembalikan sifar. Namun, jika anda tidak ingin menghabiskan waktu untuk melakukan ini, ada cara untuk melakukannya dengan lebih cepat, yaitu dengan pengiraan yang disebut pembelahan sintetik. Pada asasnya, anda akan membahagikan nilai integer anda dengan pekali asal a, b, c, dan d dalam persamaan kubik anda. Sekiranya selebihnya adalah sifar, maka nilai itu adalah salah satu jawapan untuk persamaan kubik anda.

  • Pembahagian sintetik adalah topik yang kompleks - lihat pautan di bawah untuk maklumat lebih lanjut. Berikut adalah contoh bagaimana mencari salah satu jawapan untuk persamaan kubik anda dengan pembahagian sintetik:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Oleh kerana kita mendapat keputusan akhir sama dengan 0, kita tahu bahawa salah satu jawapan integer untuk persamaan kubik kita adalah - 1.

  Kaedah 3 dari 3: Menggunakan Pendekatan Diskriminan

  

  Langkah 1. Tuliskan persamaan a, b, c, dan d

  Untuk mendapatkan jawapan bagi persamaan kubik dengan cara ini, kita akan melakukan banyak pengiraan dengan pekali dalam persamaan kita. Oleh kerana itu, ada baiknya anda mencatat nilai a, b, c, dan d sebelum anda melupakan sebarang nilai.

  Contohnya, untuk persamaan x ³ - 3 x ² + 3 x - 1, tuliskan sebagai a = 1, b = -3, c = 3, dan d = -1. Jangan lupa bahawa apabila pemboleh ubah x tidak mempunyai pekali, nilainya adalah 1.

  

  Langkah 2. Hitung 0 = b ² - 3 penghawa dingin.

  Pendekatan diskriminan untuk mencari jawapan bagi persamaan kubik memerlukan pengiraan yang kompleks, tetapi jika anda mengikuti langkah-langkahnya dengan teliti, sangat berguna untuk menyelesaikan persamaan kubik yang sukar diselesaikan dengan cara lain. Sebagai permulaan, cari nilai 0, yang merupakan nilai signifikan pertama dari beberapa yang kita perlukan, memasukkan nilai yang sesuai ke dalam formula b ² - 3 penghawa dingin.

  • Dalam contoh yang kami gunakan, kami akan menyelesaikannya seperti berikut:

    b ² - 3 ac

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Langkah 3. Hitung 1 = 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d.

  Nilai signifikan seterusnya yang kita perlukan, 1, memerlukan pengiraan yang lebih panjang, tetapi boleh didapati dengan cara yang sama seperti 0. Masukkan nilai yang sesuai ke dalam formula 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d untuk mendapatkan nilai 1.

  • Dalam contoh ini, kami menyelesaikannya seperti berikut:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Langkah 4. Kira = 1² - 4Δ0³) -27 a ².

  Seterusnya, kami mengira nilai "diskriminan" dari nilai 0 dan 1. Diskriminan adalah nombor yang memberi anda maklumat mengenai akar polinomial (anda mungkin secara tidak sedar menghafal formula diskriminasi kuadratik: b ² - 4 penghawa dingin). Sekiranya persamaan kubik, jika nilai diskriminasi adalah positif, maka persamaan mempunyai tiga jawapan nombor nyata. Sekiranya nilai diskriminan sama dengan sifar, maka persamaan mempunyai satu atau dua jawapan nombor nyata, dan beberapa jawapan mempunyai nilai yang sama. Sekiranya nilainya negatif, maka persamaan hanya mempunyai satu jawapan nombor nyata, kerana graf persamaan akan selalu memotong paksi-x sekurang-kurangnya sekali.)

  • Dalam contoh ini, kerana kedua 0 dan 1 = 0, mencari nilai adalah sangat mudah. Kita hanya perlu menghitungnya dengan cara berikut:

    1² - 4Δ0³) -27 a ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, jadi persamaan kami mempunyai 1 atau 2 jawapan.

  

  Langkah 5. Hitung C = ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1) / 2).

  Nilai terakhir yang penting untuk kita dapatkan adalah nilai C. Nilai ini membolehkan kita mendapatkan ketiga-tiga punca persamaan kubik kita. Selesaikan seperti biasa, masukkan nilai 1 dan 0 ke dalam formula.

  • Dalam contoh ini, kita akan mendapat nilai C dengan:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1) / 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Langkah 6. Hitung tiga punca persamaan dengan pemboleh ubah anda

  Punca (jawapan) persamaan kubik anda ditentukan oleh formula (b + u C + (Δ0 / u C)) / 3 a, di mana u = (-1 + (-3)) / 2 dan n sama dengan 1, 2, atau 3. Masukkan nilai anda ke dalam formula untuk menyelesaikannya - mungkin ada beberapa pengiraan yang perlu anda lakukan, tetapi anda harus mendapat ketiga-tiga jawapan persamaan kubik anda!

  • Dalam contoh ini, kita mungkin menyelesaikannya dengan memeriksa jawapan ketika n sama dengan 1, 2, dan 3. Jawapan yang kita dapat dari pengiraan ini adalah kemungkinan jawapan bagi persamaan kubik kita - sebarang nilai yang kita pasangkan ke dalam persamaan kubik dan ia memberikan hasil yang sama. dengan 0, adalah jawapan yang betul. Sebagai contoh, jika kita mendapat jawapan sama dengan 1 jika dalam salah satu eksperimen pengiraan kami, memasukkan nilai 1 ke dalam persamaan x ³ - 3 x ² + 3 x - 1 memberikan hasil akhir sama dengan 0. Oleh itu

    Langkah 1. adalah salah satu jawapan untuk persamaan kubik kami.