Bentuk akar adalah pernyataan algebra yang mempunyai tanda akar kuasa dua (atau akar kubus atau lebih tinggi). Bentuk ini selalunya mewakili dua nombor yang mempunyai nilai yang sama walaupun kelihatan berbeza pada pandangan pertama (misalnya, 1 / (sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Oleh itu, kita memerlukan "formula standard" untuk bentuk seperti ini. Sekiranya terdapat dua pernyataan, keduanya dalam formula standard, yang kelihatan berbeza, ia tidak sama. Ahli matematik bersetuju bahawa rumusan standard bentuk kuadratik memenuhi syarat berikut:
- Elakkan menggunakan pecahan
- Jangan gunakan daya pecahan
- Elakkan menggunakan bentuk akar dalam penyebut
- Tidak mengandungi pendaraban dua bentuk akar
- Nombor di bawah root tidak dapat di-root lagi
Salah satu penggunaan praktikal ini adalah dalam peperiksaan pilihan ganda. Apabila anda menemui jawapan, tetapi jawapan anda tidak sama dengan pilihan yang ada, cuba permudahkannya menjadi formula standard. Oleh kerana pembuat soalan biasanya menulis jawapan dalam formula standard, lakukan perkara yang sama dengan jawapan anda agar sesuai dengan jawapan mereka. Dalam soalan esei, perintah seperti "permudahkan jawapan anda" atau "permudahkan semua akar" bermaksud bahawa pelajar mesti menjalankan langkah-langkah berikut sehingga mereka memenuhi formula standard seperti di atas. Langkah ini juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan, walaupun beberapa jenis persamaan lebih mudah diselesaikan dalam formula tidak standard.
Langkah
Langkah 1. Sekiranya perlu, kaji peraturan untuk mengendalikan akar dan eksponen (keduanya sama - akar adalah kekuatan pecahan) kerana kita memerlukannya dalam proses ini
Kaji juga peraturan untuk mempermudah bentuk polinomial dan rasional kerana kita perlu mempermudahnya.
Kaedah 1 dari 6: Kuadrat Sempurna
Langkah 1. Permudahkan semua akar yang mengandungi petak sempurna
Kuadrat sempurna adalah produk nombor dengan sendirinya, misalnya 81, yang merupakan produk 9 x 9. Untuk mempermudah segiempat sama sempurna, keluarkan punca kuasa dua dan tuliskan punca kuasa dua nombor itu.
- Contohnya, 121 adalah petak sempurna kerana 11 x 11 sama dengan 121. Oleh itu, anda boleh mempermudah akar (121) hingga 11, dengan membuang tanda akar.
- Untuk mempermudah langkah ini, anda harus ingat dua belas petak sempurna pertama: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Langkah 2. Permudahkan semua akar yang mengandungi kubus sempurna
Kubus yang sempurna adalah hasil mengalikan nombor dengan dua kali dengan sendirinya, contohnya 27, yang merupakan produk dari 3 x 3 x 3. Untuk mempermudah bentuk akar kubus yang sempurna, keluarkan akar kuasa dua dan tuliskan akar kuadrat daripada nombor tersebut.
Sebagai contoh, 343 adalah kubus yang sempurna kerana ia adalah produk 7 x 7 x 7. Oleh itu, akar kubus 343 adalah 7
Kaedah 2 dari 6: Menukar Pecahan menjadi Akar
Atau menukar sebaliknya (kadang-kadang membantu), tetapi jangan mencampurkannya dalam pernyataan yang sama dengan root (5) + 5 ^ (3/2). Kami akan menganggap bahawa anda ingin menggunakan bentuk akar dan kami akan menggunakan simbol simbol (n) untuk punca kuasa dua dan sqrt ^ 3 (n) untuk akar kubus.
Langkah 1. Ambil satu kepada kekuatan pecahan dan ubah menjadi bentuk akar, contohnya x ^ (a / b) = akar ke kekuatan b x ^ a
Sekiranya punca kuasa dua dalam bentuk pecahan, ubah menjadi bentuk biasa. Contohnya, punca kuasa dua (2/3) dari 4 = akar (4) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8
Langkah 2. Tukarkan eksponen negatif menjadi pecahan, contohnya x ^ -y = 1 / x ^ y
Formula ini hanya berlaku untuk eksponen tetap dan rasional. Sekiranya anda berurusan dengan bentuk seperti 2 ^ x, jangan ubahnya, walaupun masalahnya menunjukkan bahawa x boleh menjadi pecahan atau nombor negatif
Langkah 3. Gabungkan suku yang sama dan permudahkan bentuk rasional yang dihasilkan.
Kaedah 3 dari 6: Menghilangkan Pecahan di Akar
Rumus standard menghendaki bahawa akar menjadi bilangan bulat.
Langkah 1. Lihat nombor di bawah punca kuasa dua jika masih mengandungi pecahan
Sekiranya masih,…
Langkah 2. Tukar kepada pecahan yang terdiri daripada dua punca menggunakan akar identiti (a / b) = sqrt (a) / sqrt (b)
Jangan gunakan identiti ini jika penyebutnya negatif, atau jika pemboleh ubahnya mungkin negatif. Dalam kes ini, permudahkan pecahan terlebih dahulu
Langkah 3. Permudahkan setiap petak hasil yang sempurna
Maksudnya, ubah sqrt (5/4) ke sqrt (5) / sqrt (4), kemudian permudahkan ke sqrt (5) / 2.
Langkah 4. Gunakan kaedah penyederhanaan lain seperti mempermudah pecahan kompleks, menggabungkan istilah yang sama, dll
Kaedah 4 dari 6: Menggabungkan Akar Pendaraban
Langkah 1. Jika anda mengalikan satu bentuk akar dengan yang lain, gabungkan dua dalam satu punca kuasa dua dengan menggunakan formula:
sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (ab). Contohnya, ubah root (2) * root (6) ke root (12).
- Identiti di atas, sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (ab), sah jika nombor di bawah tanda sqrt tidak negatif. Jangan gunakan formula ini apabila a dan b negatif kerana anda akan melakukan kesalahan membuat sqrt (-1) * sqrt (-1) = sqrt (1). Pernyataan di sebelah kiri sama dengan -1 (atau tidak ditentukan jika anda tidak menggunakan nombor kompleks) sementara pernyataan di sebelah kanan adalah +1. Sekiranya a dan / atau b negatif, pertama "ubah" tanda seperti sqrt (-5) = i * sqrt (5). Sekiranya bentuk di bawah tanda akar adalah pemboleh ubah yang tandanya tidak diketahui dari konteksnya atau boleh menjadi positif atau negatif, tinggalkan seperti sekarang. Anda boleh menggunakan identiti yang lebih umum, sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (sgn (a)) * sqrt (sgn (b)) * sqrt (| ab |) yang berlaku untuk semua nombor nyata a dan b, tetapi biasanya formula ini tidak banyak membantu kerana menambahkan kerumitan dalam penggunaan fungsi sgn (signum).
- Identiti ini hanya berlaku jika bentuk akar mempunyai eksponen yang sama. Anda boleh mengalikan punca kuasa dua yang berbeza seperti sqrt (5) * sqrt ^ 3 (7) dengan menukarnya menjadi punca kuasa dua yang sama. Untuk melakukan ini, tukar sementara kuasa dua menjadi pecahan: sqrt (5) * sqrt ^ 3 (7) = 5 ^ (1/2) * 7 ^ (1/3) = 5 ^ (3/6) * 7 ^ (2/6) = 125 ^ (1/6) * 49 ^ (1/6). Kemudian gunakan peraturan pendaraban untuk mengalikan dua hingga punca kuasa dua 6125.
Kaedah 5 dari 6: Mengeluarkan Faktor Persegi dari Akar
Langkah 1. Memfaktorkan akar yang tidak sempurna menjadi faktor utama
Faktor adalah nombor yang apabila didarabkan dengan nombor lain membentuk nombor - sebagai contoh, 5 dan 4 adalah dua faktor 20. Untuk memecahkan akar yang tidak sempurna, tuliskan semua faktor nombor (atau seberapa banyak yang mungkin, jika bilangannya terlalu besar) sehingga anda berjaya menemui petak yang sempurna.
Sebagai contoh, cuba cari semua faktor 45: 1, 3, 5, 9, 15, dan 45. 9 adalah faktor 45 dan juga petak sempurna (9 = 3 ^ 2). 9 x 5 = 45
Langkah 2. Keluarkan semua pengganda yang merupakan petak sempurna dari dalam punca kuasa dua
9 adalah petak yang sempurna kerana ia adalah produk dari 3 x 3. Keluarkan 9 dari akar kuadrat dan gantikannya dengan 3 di hadapan akar kuasa dua, meninggalkan 5 di dalam punca kuasa dua. Sekiranya anda "meletakkan" 3 kembali ke akar kuadrat, kalikan dengan sendirinya untuk menjadikan 9, dan jika anda mengalikan dengan 5, ia akan mengembalikan 45. 3 punca 5 adalah cara mudah untuk menyatakan punca 45.
Maksudnya, sqrt (45) = sqrt (9 * 5) = sqrt (9) * sqrt (5) = 3 * sqrt (5)
Langkah 3. Cari petak sempurna dalam pemboleh ubah
Akar kuasa dua kuasa dua ialah | a |. Anda boleh mempermudah ini hanya menjadi "a" jika pemboleh ubah yang diketahui positif. Akar kuadrat a ke kekuatan 3 ketika dipecah menjadi akar kuadrat dari kuasa dua kali - ingat bahawa eksponen bertambah apabila kita mengalikan dua nombor dengan kekuatan a, jadi kali kuadrat sama dengan kuasa ketiga.
Oleh itu, segi empat tepat dalam bentuk kubus adalah kuasa dua
Langkah 4. Keluarkan pemboleh ubah yang mengandungi kuasa dua sempurna dari punca kuasa dua
Sekarang, ambil kuadrat dari akar kuadrat dan ubah menjadi | a |. Bentuk ringkas root a to the power of 3 adalah | a | akar a.
Langkah 5. Gabungkan sebutan yang sama dan permudahkan semua punca hasil pengiraan
Kaedah 6 dari 6: Rasionalisasi Penyebut
Langkah 1. Rumus standard menghendaki penyebutnya menjadi bilangan bulat (atau polinomial jika mengandungi pemboleh ubah) sebanyak mungkin
-
Sekiranya penyebutnya terdiri daripada satu istilah di bawah tanda akar, seperti […] / root (5), maka kalikan kedua-dua pengangka dan penyebutnya dengan akar itu untuk mendapatkan […] * sqrt (5) / sqrt (5) * sqrt (5) = […] * akar (5) / 5.
Untuk akar kubus atau lebih tinggi, kalikan dengan akar yang sesuai supaya penyebutnya rasional. Sekiranya penyebutnya adalah root ^ 3 (5), kalikan pembilang dan penyebutnya dengan sqrt ^ 3 (5) ^ 2
-
Sekiranya penyebutnya terdiri daripada menambah atau mengurangkan dua punca kuasa dua seperti sqrt (2) + sqrt (6), kalikan pembilang dan penyebutnya dengan konjugasi mereka, yang merupakan bentuk yang sama tetapi dengan tanda yang berlawanan. Kemudian […] / (root (2) + root (6)) = […] (root (2) -root (6)) / (root (2) + root (6)) (root (2) -root (6)). Kemudian gunakan formula identiti untuk perbezaan dua petak [(a + b) (ab) = a ^ 2-b ^ 2] untuk merasionalisasi penyebut, untuk mempermudah (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2) ^ 2 - sqrt (6) ^ 2 = 2-6 = -4.
- Ini juga berlaku untuk penyebut seperti 5 + sqrt (3) kerana semua bilangan bulat adalah punca bilangan bulat yang lain. [1 / (5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 ^ 2-sqrt (3) ^ 2) = (5-sqrt (3)) / (25-3) = (5-sqrt (3)) / 22]
- Kaedah ini juga berlaku untuk penambahan akar seperti sqrt (5) -sqrt (6) + sqrt (7). Sekiranya anda mengelompokkannya menjadi (sqrt (5) -sqrt (6)) + sqrt (7) dan darabkan dengan (sqrt (5) -sqrt (6)) - sqrt (7), jawapannya tidak dalam bentuk rasional, tetapi masih dalam akar + b * (30) di mana a dan b sudah nombor rasional. Kemudian ulangi proses dengan konjugat a + b * sqrt (30) dan (a + b * sqrt (30)) (a-b * sqrt (30)) akan menjadi rasional. Pada hakikatnya, jika anda dapat menggunakan trik ini untuk membuang satu tanda akar dalam penyebutnya, anda boleh mengulanginya berkali-kali untuk membuang semua akarnya.
- Kaedah ini juga dapat digunakan untuk penyebut yang mengandungi akar yang lebih tinggi, seperti akar keempat dari 3 atau akar ketujuh dari 9. Darabkan pembilang dan penyebutnya dengan konjugasi penyebut. Malangnya, kita tidak dapat mendapatkan konjugasi penyebut secara langsung dan sukar untuk melakukannya. Kita boleh mendapatkan jawapannya dalam buku algebra mengenai teori nombor, tetapi saya tidak akan membahasnya.
Langkah 2. Sekarang penyebutnya dalam bentuk rasional, tetapi pengangka kelihatan berantakan
Sekarang yang harus anda lakukan adalah mengalikannya dengan konjugasi penyebut. Teruskan dan berlipatgandakan kerana kita akan mengalikan polinomial. Periksa untuk mengetahui apakah ada istilah yang boleh dihilangkan, dipermudahkan, atau digabungkan, jika mungkin.
Langkah 3. Sekiranya penyebutnya adalah bilangan bulat negatif, kalikan kedua-dua pengangka dan penyebutnya dengan -1 untuk menjadikannya positif
Petua
- Anda boleh mencari secara dalam talian untuk laman web yang dapat membantu mempermudah bentuk akar. Cukup ketik persamaan dengan tanda akar, dan setelah menekan Enter, jawapannya akan muncul.
- Untuk soalan yang lebih mudah, anda mungkin tidak menggunakan semua langkah dalam artikel ini. Untuk soalan yang lebih rumit, anda mungkin perlu menggunakan beberapa langkah lebih dari sekali. Gunakan langkah "sederhana" beberapa kali, dan periksa untuk mengetahui apakah jawapan anda sesuai dengan kriteria rumusan standard yang telah kita bincangkan sebelumnya. Sekiranya jawapan anda dalam formula standard, anda sudah selesai; tetapi jika tidak, anda boleh menyemak salah satu langkah di atas untuk membantu anda menyelesaikannya.
- Sebilangan besar rujukan kepada "formula standard yang disyorkan" untuk bentuk akar juga berlaku untuk nombor kompleks (i = root (-1)). Walaupun pernyataan mengandungi "i" dan bukan akar, elakkan penyebut yang masih mengandungi i sebanyak mungkin.
- Sebilangan arahan dalam artikel ini menganggap semua akar adalah kotak. Prinsip umum yang sama berlaku untuk akar kuasa yang lebih tinggi, walaupun beberapa bahagian (terutama merasionalisasi penyebut) agak sukar untuk digunakan. Tentukan sendiri bentuk yang anda mahukan, seperti sqr ^ 3 (4) atau sqr ^ 3 (2) ^ 2. (Saya tidak ingat bentuk apa yang biasanya disarankan dalam buku teks).
- Sebilangan arahan dalam artikel ini menggunakan kata "formula standard" untuk menggambarkan "bentuk biasa". Perbezaannya ialah formula standard hanya menerima bentuk 1 + sqrt (2) atau sqrt (2) +1 dan menganggap bentuk lain sebagai tidak standard; Bentuk jelas menganggap bahawa anda, pembaca, cukup pintar untuk melihat "kesamaan" kedua-dua nombor ini walaupun tidak sama secara bertulis ('sama' bermaksud harta aritmetik mereka (penambahan komutatif), bukan sifat aljabar mereka (akar (2) adalah akar bukan negatif x ^ 2-2)). Kami berharap para pembaca dapat memahami sedikit kecerobohan dalam penggunaan istilah ini.
- Sekiranya ada petunjuk yang kelihatan samar-samar atau bertentangan, lakukan semua langkah yang tidak jelas dan konsisten, dan kemudian pilih bentuk yang anda sukai.
