Pada hari-hari sebelum kalkulator dicipta, pelajar dan profesor harus mengira punca kuasa dua secara manual. Beberapa kaedah berbeza telah dikembangkan untuk mengatasi proses sukar ini. Beberapa cara memberikan anggaran kasar dan yang lain memberikan nilai yang tepat. Untuk mengetahui cara mencari punca kuasa dua nombor hanya dengan operasi mudah, lihat Langkah 1 di bawah untuk memulakan.
Langkah
Kaedah 1 dari 2: Menggunakan Pemfaktoran Perdana
Langkah 1. Bahagikan nombor anda menjadi faktor kuasa dua sempurna
Kaedah ini menggunakan faktor nombor untuk mencari punca kuasa dua nombor (bergantung pada nombor, jawapannya boleh berupa nombor tepat atau penghampiran dekat). Faktor nombor adalah sekumpulan nombor lain yang, apabila dikalikan, menghasilkan nombor itu. Sebagai contoh, anda boleh mengatakan bahawa faktor 8 adalah 2 dan 4 kerana 2 × 4 = 8. Sementara itu, petak sempurna adalah nombor bulat yang merupakan hasil daripada nombor bulat yang lain. Contohnya, 25, 36, dan 49 adalah petak sempurna kerana masing-masing berukuran 5.2, 62, dan 72. Seperti yang anda duga, faktor kuasa dua sempurna adalah faktor yang juga merupakan petak sempurna. Untuk mula mencari punca kuasa dua melalui pemfaktoran utama, cuba persederhanakan nombor anda dengan faktor kuasa dua sempurna.
- Mari gunakan contoh. Kami mahu mencari punca kuasa dua 400 secara manual. Untuk memulakan, kami akan membahagikan nombor menjadi faktor kuasa dua sempurna. Oleh kerana 400 adalah gandaan dari 100, kita tahu bahawa 400 boleh dibahagi dengan 25 - segi empat tepat. Dengan pembahagian bayang-bayang yang cepat, kita dapati bahawa 400 dibahagi dengan 25 sama dengan 16. Secara kebetulan, 16 juga merupakan segi empat tepat. Oleh itu, faktor kuasa dua sempurna 400 adalah 25 dan 16 kerana 25 × 16 = 400.
- Kita boleh menulisnya sebagai: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Langkah 2. Cari punca kuasa dua faktor kuasa dua sempurna anda
Properti pendaraban dari punca kuasa dua menyatakan bahawa untuk sebarang nombor a dan b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Kerana harta tanah ini, sekarang, kita sekarang dapat mencari punca kuasa dua faktor kuasa dua sempurna kita dan mengalikannya untuk mendapatkan jawapan kita.
-
Dalam contoh kami, kami akan menemui akar kuasa dua 25 dan 16. Lihat di bawah:
- Akar (25 × 16)
- Akar (25) × Akar (16)
-
5 × 4 =
Langkah 20.
Langkah 3. Sekiranya nombor anda tidak dapat difaktorkan dengan sempurna, permudahkan jawapan anda ke bentuk termudah
Dalam kehidupan nyata, selalunya nombor yang anda perlukan untuk mencari punca kuasa dua adalah nombor bulat yang tidak menyenangkan dengan faktor kuasa dua sempurna yang jelas seperti 400. Dalam kes ini, mungkin kita tidak dapat menemui jawapan yang tepat. Walau bagaimanapun, dengan mencari sebilangan besar faktor persegi yang anda dapat, anda boleh mendapatkan jawapannya dalam bentuk punca kuasa dua yang lebih kecil, lebih sederhana, dan lebih mudah dikira. Untuk melakukan ini, kurangkan bilangan anda menjadi gabungan faktor kuasa dua sempurna dan faktor kuasa dua tidak sempurna, kemudian permudahkan.
-
Mari kita gunakan punca kuasa dua 147 sebagai contoh. 147 bukan produk dari dua petak sempurna, jadi kita tidak dapat memperoleh nilai bilangan bulat yang tepat seperti di atas. Walau bagaimanapun, 147 adalah produk dari satu petak sempurna dan nombor lain - 49 dan 3. Kami boleh menggunakan maklumat ini untuk menulis jawapan kami dalam bentuk termudah seperti berikut:
- Akar (147)
- = Akar (49 × 3)
- = Sqrt (49) × Sqrt (3)
- = 7 × Akar (3)
Langkah 4. Sekiranya diperlukan, anggaran
Dengan punca kuasa dua anda dalam bentuk termudah, biasanya agak mudah untuk memperoleh anggaran kasar bagi jawapan nombor dengan meneka nilai punca kuasa dua yang tersisa dan mengalikannya. Salah satu cara untuk meneka tekaan anda ialah mencari petak sempurna yang lebih besar daripada dan lebih kecil daripada bilangan di punca kuasa dua anda. Anda akan melihat bahawa nilai perpuluhan nombor di punca kuasa dua anda berada di antara dua nombor tersebut, jadi anda dapat meneka nilai antara dua nombor tersebut.
-
Mari kembali kepada contoh kita. kerana 22 = 4 dan 12 = 1, kita tahu bahawa Root (3) adalah antara 1 dan 2 - mungkin lebih dekat dengan 2 daripada 1. Kami menganggarkan 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Sekiranya kita melihat jawapan kita di kalkulator, kita dapat melihat bahawa jawapan kita cukup dekat dengan jawapan sebenar yang mana 12, 13.
Ini juga berlaku untuk bilangan yang lebih besar. Sebagai contoh, Root (35) dapat dihampirkan antara 5 dan 6 (mungkin lebih dekat dengan 6). 52 = 25 dan 62 = 36. 35 adalah antara 25 dan 36, jadi akar kuadrat mestilah antara 5 dan 6. Oleh kerana 35 hanya satu kurang dari 36, kita dapat mengatakan dengan yakin bahawa akar kuadrat sedikit kurang dari 6. Memeriksa dengan kalkulator akan berikan jawapannya kira-kira 5, 92 - kita betul.
Langkah 5. Sebagai alternatif, kurangkan bilangan anda menjadi faktor yang paling tidak biasa sebagai langkah pertama anda
Tidak perlu mencari faktor kuasa dua sempurna jika anda dapat dengan mudah menentukan faktor utama nombor (faktor yang juga nombor perdana). Tulis nombor anda dengan sebutan faktor yang paling jarang. Kemudian, cari pasangan nombor perdana yang sesuai dengan faktor anda. Apabila anda menemui dua faktor utama yang sama, keluarkan dua nombor ini dari punca kuasa dua dan letakkan salah satu nombor ini di luar punca kuasa dua.
-
Contohnya, cari punca kuasa dua 45 menggunakan kaedah ini. Kita tahu bahawa 45 × 5 dan kita tahu bahawa di bawah 9 = 3 × 3. Oleh itu, kita dapat menulis punca kuasa dua kita dari segi faktor seperti ini: Sqrt (3 × 3 × 5). Cukup keluarkan kedua-dua 3s dan letakkan satu 3 di luar punca kuasa dua untuk mempermudah punca kuasa dua anda ke bentuk termudah: (3) Akar (5).
Dari sini, kita akan mudah dianggarkan.
-
Sebagai masalah contoh terakhir, mari cuba cari punca kuasa dua 88:
- Akar (88)
- = Akar (2 × 44)
- = Akar (2 × 4 × 11)
- = Akar (2 × 2 × 2 × 11). Kami mempunyai kira-kira 2 di punca kuasa dua kami. Oleh kerana 2 adalah nombor perdana, kita dapat membuang sepasang 2s dan meletakkan salah satu daripadanya di luar punca kuasa dua.
-
= Akar kuadrat kami dalam bentuk termudah adalah (2) Sqrt (2 × 11) atau (2) Akar (2) Akar (11).
Dari sini, kita dapat menganggar Sqrt (2) dan Sqrt (11) dan mencari jawapan anggaran yang kita mahukan.
Kaedah 2 dari 2: Mencari Akar Persegi Secara Manual
Menggunakan Algoritma Pembahagian Panjang
Langkah 1. Pisahkan digit nombor anda menjadi pasangan
Kaedah ini menggunakan proses yang serupa dengan pembahagian panjang untuk mencari digit punca kuasa dua tepat mengikut digit. Walaupun tidak wajib, anda mungkin lebih senang menjalankan proses ini jika anda menyusun tempat kerja dan nombor anda secara visual ke bahagian yang senang dikerjakan. Pertama, lukiskan garis menegak yang membahagi kawasan kerja anda kepada dua bahagian, kemudian lukiskan garis mendatar yang lebih pendek di dekat bahagian atas kanan untuk membahagi bahagian kanan menjadi bahagian atas yang lebih kecil dan bahagian bawah yang lebih besar. Seterusnya, asingkan digit anda menjadi berpasangan, bermula pada titik perpuluhan. Sebagai contoh, mengikuti peraturan ini, 79,520,789,182, 47897 menjadi "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Tulis nombor anda di kiri atas.
Sebagai contoh, mari kita cuba mengira punca kuasa dua 780, 14. Lukis dua garis untuk membahagikan tempat kerja anda seperti di atas dan tuliskan "7 80. 14" di kiri atas. Tidak kira sama ada nombor paling kiri adalah nombor tunggal, dan bukan sepasang nombor. Anda akan menulis jawapan anda (akar kuadrat 780, 14) di kanan atas
Langkah 2. Cari bilangan bulat terbesar yang nilai kuadratnya kurang dari atau sama dengan nombor (atau sepasang nombor) di kiri paling jauh
Mulakan di paling kiri nombor anda, pasangan nombor dan nombor tunggal. Cari petak sempurna terbesar yang kurang daripada atau sama dengan nombor ini, kemudian cari punca kuasa dua bagi petak sempurna ini. Nombor ini ialah n. Tulis n di kanan atas dan tuliskan segiempat sama n di kuadran kanan bawah.
Dalam contoh kita, paling kiri adalah nombor 7. Kerana kita tahu bahawa 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, kita dapat mengatakan bahawa n = 2 kerana 2 adalah bilangan bulat terbesar yang nilai kuadratnya kurang dari atau sama dengan 7. Tulis 2 di kuadran kanan atas. Ini adalah digit pertama jawapan kami. Tulis 4 (nilai persegi 2) di kuadran kanan bawah. Nombor ini penting untuk langkah seterusnya.
Langkah 3. Kurangkan nombor yang baru anda kirakan dari pasangan paling kiri
Seperti pembahagian panjang, langkah seterusnya adalah untuk mengurangkan nilai petak yang baru kita dapati dari bahagian yang baru kita analisis. Tulis nombor ini di bawah bahagian pertama dan tolak, tulis jawapan anda di bawahnya.
-
Dalam contoh kami, kami akan menulis 4 di bawah 7, kemudian tolaknya. Pengurangan ini menghasilkan jawapan
Langkah 3..
Langkah 4. Jatuhkan pasangan seterusnya
Pindah ke bawah bahagian seterusnya nombor yang anda cari untuk punca kuasa dua, di sebelah nilai pengurangan yang baru anda temukan. Seterusnya, kalikan nombor di kuadran kanan atas dengan dua dan tulis jawapannya di kuadran kanan bawah. Di sebelah nombor yang baru anda tulis, tinggalkan ruang untuk masalah pendaraban yang akan anda lakukan pada langkah seterusnya dengan menulis '"_ × _ ="'.
Dalam contoh kita, pasangan nombor kita yang seterusnya adalah "80". Tulis "80" di sebelah 3 di kuadran kiri. Seterusnya, kalikan nombor di bahagian kanan atas dengan dua. Nombor ini adalah 2, jadi 2 × 2 = 4. Tulis "'4"' di kuadran kanan bawah, diikuti oleh _×_=.
Langkah 5. Isi tempat kosong di kuadran kanan
Anda mesti mengisi semua tempat kosong yang baru anda tulis di kuadran kanan dengan nombor bulat yang sama. Bilangan bulat ini mestilah bilangan bulat terbesar yang menjadikan produk di kuadran kanan kurang daripada atau sama dengan bilangan yang ada di sebelah kiri.
Dalam contoh kami, kami mengisi tempat kosong dengan 8, menghasilkan 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Nilai ini lebih besar daripada 384. Oleh itu, 8 terlalu besar, tetapi 7 mungkin berfungsi. Tulis 7 di tempat kosong dan selesaikan: 4 (7) × 7 = 329. 7 adalah nombor yang betul kerana 329 kurang daripada 380. Tulis 7 di kuadran kanan atas. Ini adalah digit kedua dalam punca kuasa dua 780, 14
Langkah 6. Kurangkan nombor yang baru anda hitung dari nombor sekarang di sebelah kiri
Teruskan dengan rantaian pengurangan menggunakan kaedah pembahagian panjang. Ambil produk masalah di kuadran kanan dan tolaknya dari nombor yang ada di sebelah kiri, sambil tulis jawapan anda di bawah.
Dalam contoh kami, kami akan mengurangkan 329 dari 380, yang memberikan hasilnya 51.
Langkah 7. Ulangi langkah 4
Turunkan bahagian seterusnya nombor yang anda cari punca kuasa dua. Apabila anda mencapai titik perpuluhan dalam nombor anda, tuliskan titik perpuluhan dalam jawapan anda di kuadran kanan atas. Kemudian, kalikan nombor di kanan atas dengan 2 dan tuliskan di sebelah masalah pendaraban kosong ("_ × _") seperti di atas.
Dalam contoh kita, kerana kita sekarang berurusan dengan titik perpuluhan di 780, 14, tulis titik perpuluhan setelah jawapan kita sekarang di kanan atas. Seterusnya, turunkan pasangan seterusnya (14) di kuadran kiri. Dua kali nombor di kanan atas (27) sama dengan 54, jadi tulis "54 _ × _ =" di kuadran kanan bawah
Langkah 8. Ulangi langkah 5 dan 6
Cari digit terbesar untuk mengisi tempat kosong di sebelah kanan, yang memberikan jawapan kurang daripada atau sama dengan nombor yang ada di sebelah kiri. Kemudian, selesaikan masalahnya.
Dalam contoh kita, 549 × 9 = 4941, yang lebih kecil daripada atau sama dengan nombor di sebelah kiri (5114). 549 × 10 = 5490 terlalu besar, jadi 9 adalah jawapan anda. Tuliskan 9 sebagai digit seterusnya di kuadran kanan atas dan tolak produk dari nombor di sebelah kiri: 5114 tolak 4941 sama dengan 173
Langkah 9. Untuk terus mengira digit, turunkan pasangan nol di sebelah kiri, dan ulangi langkah 4, 5, dan 6
Untuk ketepatan yang lebih besar, teruskan proses ini untuk mencari ratusan, ribuan, dan lebih banyak tempat dalam jawapan anda. Teruskan menggunakan kitaran ini sehingga anda menemui tempat perpuluhan yang anda mahukan.
Memahami Proses
Langkah 1. Bayangkan nombor yang anda hitungkan punca kuasa dua sebagai luas S sebuah segiempat sama
Oleh kerana luas sebuah petak adalah P2 di mana P adalah panjang salah satu sisi, maka dengan mencuba mencari punca kuasa dua nombor anda, anda sebenarnya berusaha mengira panjang P sisi sisi segiempat itu.
Langkah 2. Tentukan pemboleh ubah huruf untuk setiap digit jawapan anda
Tetapkan pemboleh ubah A sebagai digit pertama P (akar kuasa dua yang cuba kita kirakan). B akan menjadi digit kedua, C digit ketiga, dan seterusnya.
Langkah 3. Tentukan pemboleh ubah huruf untuk setiap bahagian nombor permulaan anda
Tetapkan pemboleh ubah Sa untuk pasangan digit pertama dalam S (nilai awal anda), Sb untuk sepasang digit kedua, dll.
Langkah 4. Fahami hubungan antara kaedah ini dan pembahagian panjang
Kaedah mencari punca kuasa dua ini pada dasarnya adalah masalah pembahagian panjang yang membahagi nombor awal anda dengan punca kuasa dua, memberi anda punca kuasa dua jawapannya. Sama seperti masalah pembahagian panjang, anda hanya berminat dengan digit seterusnya dalam setiap langkah. Dengan cara ini, anda hanya berminat dengan dua digit seterusnya dalam setiap langkah (yang merupakan digit seterusnya dalam setiap langkah untuk punca kuasa dua).
Langkah 5. Cari nombor terbesar yang nilai kuadratnya kurang dari atau sama dengan Sa.
Digit pertama A dalam jawapan kami adalah bilangan bulat terbesar yang nilai kuadratnya tidak melebihi Sa (iaitu A sehingga A² Sa <(A + 1) ²). Dalam contoh kami, Sa = 7, dan 2² 7 <3², jadi A = 2.
Perhatikan bahawa, sebagai contoh, jika anda ingin membahagikan 88962 dengan 7 menggunakan pembahagian panjang, langkah pertama hampir sama: anda akan melihat digit pertama 88962 (yang 8) dan anda mencari digit terbesar yang, apabila didarabkan dengan 7, kurang dari atau sama dengan 8 Pada dasarnya, anda mencari d sehingga 7 × d 8 <7 × (d + 1). Dalam kes ini, d akan sama dengan 1
Langkah 6. Bayangkan nilai petak yang kawasannya akan anda mulakan
Jawapan anda, punca kuasa dua nombor permulaan anda, adalah P, yang menerangkan panjang segiempat sama dengan luas S (nombor permulaan anda). Nilai anda untuk A, B, C, mewakili digit dalam nilai P. Kaedah lain untuk mengatakan ini adalah 10A + B = P (untuk jawapan dua digit), 100A + 10B + C = P (untuk tiga- jawapan digit), dll.
Dalam contoh kami, (10A + B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Ingat bahawa 10A + B mewakili jawapan kita, P, dengan B di posisi satu dan A di kedudukan puluhan. Contohnya, dengan A = 1 dan B = 2, maka 10A + B sama dengan 12. (10A + B) ² adalah luas luas dataran, sementara 100A² adalah kawasan dataran terbesar di dalamnya, B² adalah luas petak terkecil di dalamnya, dan 10A × B ialah luas dua segi empat yang tinggal. Dengan melakukan proses yang panjang dan berbelit-belit ini, kita dapati luas luas sebuah segiempat dengan menambahkan luas petak dan segi empat di dalamnya.
Langkah 7. Kurangkan A² dari Sa.
Kurangkan satu pasang digit (SbNilai S. Nilai Sa Sb dekat dengan luas luas alun-alun, yang baru saja anda gunakan untuk mengurangkan segi empat sama yang lebih besar. Selebihnya boleh dianggap sebagai nombor N1, yang kita dapat pada langkah 4 (N1 = 380 dalam contoh kita). N1 sama dengan 2 & kali: 10A × B + B² (luas dua segi empat sama dengan luas petak yang lebih kecil).
Langkah 8. Cari N1 = 2 × 10A × B + B², yang juga ditulis sebagai N1 = (2 × 10A + B) × B
Dalam contoh kami, anda sudah mengetahui N1 (380) dan A (2), jadi anda mesti mencari B. B kemungkinan besar bukan nombor bulat, jadi anda benar-benar perlu mencari bilangan bulat B terbesar sehingga (2 × 10A + B) × B N1. Oleh itu, anda mempunyai: N1 <(2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
Langkah 9. Selesaikan
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kalikan A dengan 2, alihkan hasilnya ke kedudukan puluhan (setara dengan mengalikan dengan 10), letakkan B pada kedudukan satu, dan kalikan nombor dengan B. Dengan kata lain, selesaikan (2 × 10A + B) × B. Inilah yang anda lakukan semasa anda menulis "N_ × _ =" (dengan N = 2 × A) di kuadran kanan bawah pada langkah 4. Pada langkah 5, anda dapati bilangan bulat terbesar B yang sesuai dengan nombor di bawahnya sehingga (2 × 10A + B) × B N1.
Langkah 10. Kurangkan kawasan (2 × 10A + B) × B dari luas keseluruhan
Pengurangan ini menghasilkan luas S- (10A + B) ² yang belum dikira (dan yang akan digunakan untuk mengira digit berikutnya dengan cara yang sama).
Langkah 11. Untuk mengira digit seterusnya, C, ulangi prosesnya
Turunkan pasangan seterusnya (Sc) dari S untuk mendapatkan N2 di sebelah kiri, dan cari C terbesar sehingga anda mempunyai (2 × 10 × (10A + B) + C) × C N2 (bersamaan dengan menulis dua kali nombor dua angka "AB" diikuti oleh "_ × _ =". Cari digit padanan terbesar di tempat kosong, yang memberikan jawapan kurang daripada atau sama dengan N2, seperti sebelumnya.
Petua
- Memindahkan titik perpuluhan dengan gandaan dua digit dalam satu nombor (gandaan 100), bermaksud menggerakkan titik perpuluhan dengan gandaan satu digit di punca kuadratnya (gandaan 10).
- Dalam contoh ini, 1.73 boleh dianggap sebagai "selebihnya": 780, 14 = 27, 9² + 1.73.
- Kaedah ini boleh digunakan untuk asas apa pun, bukan hanya asas 10 (perpuluhan).
- Anda boleh menggunakan kalkulus yang lebih sesuai untuk anda. Sebilangan orang menulis hasilnya di atas nombor awal.
- Kaedah alternatif menggunakan pecahan berulang adalah dengan mengikuti formula ini: z = (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x +…))). Sebagai contoh, untuk mengira punca kuasa dua 780, 14, bilangan bulat yang nilai kuadratnya paling dekat dengan 780, 14 ialah 28, jadi z = 780, 14, x = 28, dan y = -3, 86. Memasukkan nilai dan mengira anggaran hanya untuk x + y / (2x) ia menghasilkan (dalam termudah) 78207/20800 atau sekitar 27, 931 (1); penggal seterusnya, 4374188/156607 atau lebih kurang 27, 930986 (5). Setiap istilah menambah kira-kira 3 tempat perpuluhan dengan ketepatan bilangan tempat perpuluhan sebelumnya.
