Cara Menurunkan Fungsi Tersirat: 7 Langkah (dengan Gambar)

2024 Pengarang: Jason Gerald | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-19 22:13

Dalam kalkulus, apabila anda mempunyai persamaan untuk y yang ditulis dalam bentuk x (contohnya y = x² -3x), mudah menggunakan teknik derivasi asas (disebut oleh ahli matematik sebagai teknik derivatif fungsi tersirat) untuk mencari derivatifnya. Walau bagaimanapun, untuk persamaan yang sukar dibina dengan hanya istilah y di satu sisi tanda sama (mis. X² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), pendekatan yang berbeza diperlukan. Dengan teknik yang disebut derivatif fungsi tersirat, mudah untuk mencari derivatif dari persamaan berbilang pembolehubah selagi anda mengetahui asas-asas derivatif fungsi eksplisit!

Langkah

Kaedah 1 dari 2: Memperoleh Persamaan Mudah Dengan Cepat

Langkah 1. Turunkan sebutan x seperti biasa

Semasa mencuba memperoleh persamaan berbilang pemboleh ubah seperti x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, sukar untuk mengetahui di mana hendak bermula. Nasib baik, langkah pertama terbitan fungsi tersirat adalah yang paling mudah. Hanya dapatkan sebutan-x dan pemalar pada kedua-dua sisi persamaan mengikut peraturan terbitan biasa (eksplisit) untuk bermula. Abaikan syarat-syarat y buat masa ini.

• Mari cuba dapatkan contoh persamaan mudah di atas. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 mempunyai dua sebutan x: x² dan -5x. Sekiranya kita ingin mendapatkan persamaan, kita harus melakukan ini terlebih dahulu, seperti ini:

  x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Turunkan kekuatan 2 in x² sebagai pekali, keluarkan x dalam -5x, dan ubah 19 hingga 0)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Langkah 2. Turunkan sebutan y dan tambahkan (dy / dx) di sebelah setiap istilah

Untuk langkah seterusnya, dapatkan sebutan y dengan cara yang sama anda memperoleh istilah x. Kali ini, bagaimanapun, tambahkan (dy / dx) di sebelah setiap istilah kerana anda akan menambah pekali. Contohnya, jika anda menurunkan y², maka terbitan menjadi 2y (dy / dx). Abaikan syarat yang mempunyai x dan y buat masa ini.

• Dalam contoh kami, persamaan kami sekarang kelihatan seperti ini: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Kami akan melakukan langkah seterusnya untuk memperoleh y sebagai berikut:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Turunkan kekuatan 2 in y² sebagai pekali, buang y dalam 8y, dan letakkan dy / dx di sebelah setiap istilah).

  2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy²= 0

Langkah 3. Gunakan peraturan produk atau peraturan hasil bagi istilah yang mempunyai x dan y

Bekerja dengan istilah yang mempunyai x dan y agak sukar, tetapi jika anda mengetahui peraturan untuk produk dan hasil bagi derivatif, anda akan merasa senang. Sekiranya istilah x dan y digandakan, gunakan peraturan produk ((f × g) '= f' × g + g × f '), menggantikan istilah x dengan f dan istilah y untuk g. Sebaliknya, jika istilah x dan y saling eksklusif, gunakan peraturan bagi ((f / g) '= (g × f' - g '× f) / g²), menggantikan pengangka dengan f dan penyebutnya dengan g.

• Dalam contoh kami, 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy² = 0, kita hanya mempunyai satu istilah yang mempunyai x dan y - 2xy². Oleh kerana x dan y dikalikan satu sama lain, kami akan menggunakan peraturan produk untuk memperoleh seperti berikut:

  2xy² = (2x) (y²) - tetapkan 2x = f dan y² = g dalam (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy / dx))

  (f × g) '= 2y² + 4xy (dy / dx)

• Menambah ini ke persamaan utama kami, kami dapat 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0

Langkah 4. Sendiri (dy / dx)

Anda hampir selesai! Sekarang, yang perlu anda lakukan ialah menyelesaikan persamaan (dy / dx). Ini nampaknya sukar, tetapi biasanya tidak - ingat bahawa dua istilah a dan b dikalikan dengan (dy / dx) boleh ditulis sebagai (a + b) (dy / dx) kerana sifat pendaraban pendaraban. Taktik ini dapat menjadikan pengasingan (dy / dx) lebih mudah - hanya pindahkan semua istilah lain di sisi kurung yang lain, kemudian bahagikan dengan istilah dalam tanda kurung di sebelah (dy / dx).

• Dalam contoh kami, kami mempermudah 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0 seperti berikut:

  2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Kaedah 2 dari 2: Menggunakan Teknik Lanjutan

Langkah 1. Masukkan nilai (x, y) untuk mencari (dy / dx) untuk titik apa pun

Selamat! Anda sudah memperoleh persamaan anda secara tersirat - bukan kerja mudah pada percubaan pertama! Menggunakan persamaan ini untuk mencari kecerunan (dy / dx) untuk titik mana pun (x, y) semudah memasukkan nilai x dan y untuk titik anda ke sebelah kanan persamaan, kemudian cari (dy / dx).

• Sebagai contoh, anggaplah kita mahu mencari kecerunan pada titik (3, -4) untuk persamaan contoh kita di atas. Untuk melakukannya, kami akan menggantikan 3 untuk x dan -4 untuk y, menyelesaikannya seperti berikut:

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

  (dy / dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))

  (dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))

  (dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))

  (dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48, atau 0, 6875.

Langkah 2. Gunakan peraturan rantai untuk fungsi-dalam-fungsi

Peraturan rantai adalah pengetahuan yang penting untuk dimiliki ketika mengerjakan masalah kalkulus (termasuk masalah terbitan fungsi tersirat). Peraturan rantai menyatakan bahawa untuk fungsi F (x) yang boleh ditulis sebagai (f o g) (x), terbitan F (x) sama dengan f '(g (x)) g' (x). Untuk masalah derivatif fungsi tersirat yang sukar, ini bermaksud bahawa kemungkinan untuk memperoleh bahagian persamaan yang berbeza, dan kemudian menggabungkan hasilnya.

• Sebagai contoh mudah, anggaplah kita harus mencari turunan dosa (3x² + x) sebagai sebahagian daripada masalah terbitan fungsi tersirat yang lebih besar untuk sin persamaan (3x² + x) + y³ = 0. Sekiranya kita membayangkan dosa (3x² + x) sebagai f (x) dan 3x² + x sebagai g (x), kita dapat mencari derivatifnya seperti berikut:

  f '(g (x)) g' (x)

  (dosa (3x² + x)) '× (3x² + x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) kos (3x² + x)

Langkah 3. Untuk persamaan dengan pemboleh ubah x, y, dan z, cari (dz / dx) dan (dz / dy)

Walaupun tidak biasa dalam kalkulus asas, beberapa aplikasi lanjutan mungkin memerlukan penurunan fungsi tersirat lebih dari dua pemboleh ubah. Untuk setiap pemboleh ubah tambahan, anda mesti mencari derivatif tambahannya berkenaan dengan x. Contohnya, jika anda mempunyai x, y, dan z, anda harus mencari kedua (dz / dy) dan (dz / dx). Kita boleh melakukan ini dengan memperoleh persamaan berkenaan dengan x dua kali - pertama, kita akan memasukkan (dz / dx) setiap kali kita memperoleh istilah yang mengandungi z, dan kedua, kita akan memasukkan (dz / dy) setiap kali kita memperoleh z. Selepas ini, hanya masalah penyelesaian (dz / dx) dan (dz / dy).

• Sebagai contoh, katakan kita cuba memperoleh x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• Pertama, mari kita lawan x dan masukkan (dz / dx). Jangan lupa untuk menerapkan peraturan produk jika diperlukan!

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz / dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz / dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz / dx) - 5y⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz / dx) = 2x - 3x²z² + 5y⁵z

  (dz / dx) = (2x - 3x²z² + 5y⁵z) / (2x³z - 5xy⁵)

• Sekarang, lakukan perkara yang sama untuk (dz / dy)

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz / dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz / dy) = 3y²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz / dy) = 3y² + 25xy⁴z

  (dz / dy) = (3y² + 25xy⁴z) / (2x³z - 5xy⁵)