Penentu matriks sering digunakan dalam kalkulus, aljabar linear, dan geometri pada tahap yang lebih tinggi. Di luar akademik, jurutera grafik komputer dan pengaturcara menggunakan matriks dan penentu mereka sepanjang masa. Sekiranya anda sudah mengetahui cara menentukan penentu matriks urutan 2x2, anda hanya perlu belajar kapan menggunakan penambahan, pengurangan, dan masa untuk menentukan penentu matriks pesanan 3x3.
Langkah
Bahagian 1 dari 2: Menentukan Penentu
Tuliskan matriks pesanan 3 x 3 anda. Kita akan mulakan dengan matriks A pesanan 3x3 dan cuba mencari penentu | A |. Berikut adalah bentuk notasi matriks umum yang akan kita gunakan dan contoh matriks kita:
| a11 | a12 | a13 | 1 | 5 | 3 | |||
| M | = | a21 | a22 | a23 | = | 2 | 4 | 7 |
| a31 | a32 | a33 | 4 | 6 | 2 |
Langkah 1. Pilih baris atau lajur
Jadikan pilihan anda sebagai rujukan baris atau lajur. Apa sahaja yang anda pilih, anda masih akan mendapat jawapan yang sama. Pilih barisan pertama buat sementara waktu. Kami akan memberi anda beberapa cadangan untuk memilih pilihan yang paling mudah dikira di bahagian seterusnya.
Pilih baris pertama matriks sampel A. Bulatkan nombor 1 5 3. Dalam notasi biasa, bulatkan a11 a12 a13.
Langkah 2. Gariskan baris dan lajur elemen pertama anda
Lihat baris atau lajur yang anda bulatkan dan pilih elemen pertama. Gariskan baris dan lajur. Hanya akan ada 4 nombor yang tidak tersentuh. Jadikan 4 nombor ini sebagai matriks tertib 2 x 2.
- Dalam contoh kami, baris rujukan kami adalah 1 5 3. Elemen pertama adalah pada baris pertama dan lajur pertama. Gariskan keseluruhan baris pertama dan lajur pertama. Tuliskan baki unsur ke dalam matriks 2 x 2:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Langkah 3. Tentukan penentu matriks tertib 2 x 2
Ingat, tentukan penentu matriks [ac bd] oleh iklan - bc. Anda mungkin juga telah belajar menentukan penentu matriks dengan melukis X antara matriks 2 x 2. Gandakan dua nombor yang dihubungkan dengan garis / X. Kemudian, tolak bilangan kali kedua nombor dihubungkan oleh garis / adalah. Gunakan formula ini untuk mengira penentu matriks 2 x 2.
- Dalam contohnya, penentu matriks [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Penentu ini dipanggil bawah umur elemen yang anda pilih dalam matriks awal. Dalam kes ini, kita baru sahaja menemui yang kecil11.
Langkah 4. Gandakan nombor yang dijumpai dengan elemen yang anda pilih
Ingat, anda telah memilih elemen dari baris rujukan (atau lajur) ketika anda memutuskan baris dan lajur mana yang akan dicoret. Gandakan elemen ini dengan penentu matriks 2 x 2 yang anda temui.
Dalam contohnya, kita memilih a11 yang 1. Gandakan nombor ini dengan -34 (penentu matriks 2 x 2) untuk mendapatkan 1 * -34 = - 34.
Langkah 5. Tentukan simbol jawapan anda
Langkah seterusnya ialah anda harus menggandakan jawapan anda dengan 1 atau -1 untuk mendapatkannya kofaktor elemen yang anda pilih. Simbol yang anda gunakan bergantung pada di mana elemen berada dalam matriks 3 x 3. Ingat, jadual simbol ini digunakan untuk menentukan pengganda elemen anda:
- + - +
- - + -
- + - +
- Kerana kita memilih a11 yang ditandai sebagai +, kita akan mengalikan nombor dengan +1 (atau dengan kata lain, jangan ubahnya). Jawapan yang muncul akan sama, iaitu - 34.
- Cara lain untuk menentukan simbol adalah dengan menggunakan formula (-1) i + j di mana i dan j adalah unsur baris dan lajur.
Langkah 6. Ulangi proses ini untuk elemen kedua dalam baris atau lajur rujukan anda
Kembali ke matriks 3 x 3 asal yang anda lengkapkan baris atau lajur sebelumnya. Ulangi proses yang sama dengan elemen:
-
Gariskan baris dan lajur elemen.
Dalam kes ini, pilih elemen a12 (yang bernilai 5). Gariskan baris pertama (1 5 3) dan lajur ke-2 (5 4 6).
-
Ubah baki elemen menjadi matriks 2x2.
Dalam contoh kami, matriks pesanan 2x2 untuk elemen kedua adalah [24 72].
-
Tentukan penentu matriks 2x2 ini.
Gunakan formula iklan - bc. (2 * 2 - 7 * 4 = -24)
-
Darabkan dengan elemen matriks 3x3 pilihan anda.
-24 * 5 = -120
-
Tentukan sama ada mengalikan hasil di atas dengan -1 atau tidak.
Gunakan jadual simbol atau formula (-1)ij. Pilih elemen a12 dilambangkan - dalam jadual simbol. Gantikan simbol jawapan kami dengan: (-1) * (- 120) = 120.
Langkah 7. Ulangi proses yang sama untuk elemen ketiga
Anda mempunyai satu lagi kofaktor untuk menentukan penentu. Hitung i untuk elemen ketiga dalam baris atau lajur rujukan anda. Berikut adalah kaedah cepat untuk mengira kofaktor a13 dalam contoh kami:
- Gariskan baris pertama dan lajur ke-3 untuk mendapatkan [24 46].
- Penentu adalah 2 * 6 - 4 * 4 = -4.
- Darabkan dengan unsur a13: -4 * 3 = -12.
- Unsur a13 simbol + dalam jadual simbol, jadi jawapannya adalah - 12.
Langkah 8. Tambah hasil daripada tiga pertimbangan anda
Ini adalah langkah terakhir. Anda telah mengira tiga kofaktor, satu untuk setiap elemen dalam satu baris atau lajur. Tambahkan hasil tersebut dan anda akan dapati penentu matriks 3 x 3.
Dalam contohnya, penentu matriks adalah - 34 + 120 + - 12 = 74.
Bahagian 2 dari 2: Membuat Penyelesaian Masalah Lebih Mudah
Langkah 1. Pilih baris atau lajur rujukan yang mempunyai bilangan 0 paling banyak
Ingat, anda boleh memilih baris atau lajur yang anda mahukan. Apa sahaja yang anda pilih, jawapannya akan sama. Sekiranya anda memilih baris atau lajur dengan nombor 0, anda hanya perlu mengira kofaktor dengan elemen yang tidak 0 kerana:
- Contohnya, pilih baris ke-2 yang mempunyai unsur a21, a22, dana23. Untuk menyelesaikan masalah ini, kami akan menggunakan 3 matriks 2 x 2 berbeza, katakan A21, A22, Anda23.
- Penentu matriks 3x3 adalah a21| A21| - a22| A22| + a23| A23|.
- Sekiranya22 dana23 nilai 0, formula yang ada akan menjadi21| A21| - 0 * | A22| + 0 * | A23| = a21| A21| - 0 + 0 = a21| A21|. Oleh itu, kita hanya akan mengira kofaktor satu elemen sahaja.
Langkah 2. Gunakan baris tambahan untuk menjadikan masalah matriks menjadi lebih mudah
Sekiranya anda mengambil nilai dari satu baris dan menambahkannya ke baris lain, penentu matriks tidak akan berubah. Perkara yang sama berlaku untuk lajur. Anda boleh melakukannya berulang kali atau kalikan dengan pemalar sebelum menambahkannya untuk mendapatkan sebanyak 0 dalam matriks sebanyak mungkin. Ini dapat menjimatkan banyak masa.
- Contohnya, anda mempunyai matriks dengan 3 baris: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- Untuk menghilangkan nombor 9 yang berada di kedudukan a11, anda boleh mengalikan nilai pada baris ke-2 dengan -3 dan menambahkan hasilnya ke baris pertama. Sekarang, baris pertama yang baru ialah [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- Matriks baru mempunyai baris [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Gunakan muslihat yang sama pada lajur untuk membuat a12 menjadi nombor 0.
Langkah 3. Gunakan kaedah cepat untuk matriks segitiga
Dalam kes khas ini, penentu adalah produk unsur pada pepenjuru utama, a11 di kiri atas ke a33 di kanan bawah matriks. Matriks ini masih merupakan matriks 3x3, tetapi matriks "segitiga" mempunyai corak nombor yang tidak 0:
- Matriks segitiga atas: Semua elemen yang tidak 0 berada di atas atau diagonal utama. Semua nombor di bawah pepenjuru utama adalah 0.
- Matriks segitiga bawah: Semua elemen yang tidak 0 berada atau berada di bawah pepenjuru utama.
- Matriks pepenjuru: Semua elemen yang bukan 0 berada pada pepenjuru utama (subset jenis matriks di atas).
Petua
- Sekiranya semua elemen dalam baris atau lajur adalah 0, penentu matriks adalah 0.
- Kaedah ini boleh digunakan untuk semua ukuran matriks kuadratik. Sebagai contoh, jika anda menggunakan kaedah ini untuk matriks pesanan 4x4, "teguran" anda akan meninggalkan matriks pesanan 3x3 yang penentunya dapat ditentukan dengan mengikuti langkah-langkah di atas. Ingat, melakukan ini boleh membosankan!
